[论文解读] Design of origami structures with curved tiles between the creases

Huan Liu, Richard D. James|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2023

Advanced Materials and MechanicsEngineering被引用 3

一句话总结

本文提出了一种拉格朗日框架，用于设计具有弹性势能存储在褶皱之间的弯曲折纸结构，利用等距映射和群轨道方法。推导出兼容性的通用定理，通过 $h^3$ 缩放实现能量计算，并表明基于共形群的设计在圆柱体和圆锥体中的实验屈曲模式匹配上优于经典图案。

ABSTRACT

An efficient way to introduce elastic energy that can bias an origami structure toward desired shapes is to allow curved tiles between the creases. The bending of the tiles supplies the energy and the tiles themselves may have additional functionality. In this paper, we present the theorem and systematic design methods for quite general curved origami structures that can be folded from a flat sheet, and we present methods to accurately find the stored elastic energy. Here the tiles are allowed to undergo curved isometric mappings, and the associated creases necessarily undergo isometric mappings as curves. These assumptions are consistent with a variety of practical methods for crease design. The h^3 scaling of the energy of thin sheets (h = thickness) spans a broad energy range. Different tiles in an origami design can have different values of h, and individual tiles can also have varying h. Following developments for piecewise rigid origami, we develop further the Lagrangian approach and the group orbit procedure in this context. We notice that some of the simplest designs that arise from the group orbit procedure for certain helical and conformal groups provide better matches to the buckling patterns observed in compressed cylinders and cones than known patterns.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于设计可从平面薄片折叠而成、且在弯曲薄片中储存弹性势能的弯曲折纸结构。
• 解决目前对弯曲薄片中弯曲引起的弹性势能如何影响折纸的折叠行为和能量景观的理解不足问题。
• 将群轨道方法扩展至等距弯曲变形，实现复杂且兼容的折纸图案的系统生成。
• 提供一种基于基尔霍夫非线性板理论和 $h^3$ 缩放的弯曲薄片中弹性势能计算框架。
• 探索理论弯曲折纸图案与薄壁圆柱形和圆锥形壳体中观察到的屈曲现象之间的联系。

提出的方法

• 制定一种拉格朗日方法，以定义从平面参考构型到具有弯曲薄片的折叠状态的变形 ${\bf y}({\bf x})$。
• 应用微分几何推导弯曲曲面的纹线、褶皱和等距映射的公式。
• 利用形变梯度 $\bf{F}_i$ 和反射矩阵 $\bf{P}_i$，通过 $\bf{F}_1 = \bf{P}_1\bf{P}_2\dots\bf{P}_n\bf{F}_1$ 实现褶皱处的兼容性。
• 引入基于螺旋、圆周、平移和共形群的群轨道过程，以生成对称且兼容的弯曲折纸图案。
• 应用保持等距性并缩放形变的共形群变换，实现新图案族的生成。
• 基于基尔霍夫非线性板理论，推导出切线可展曲面的能量表达式 $\mathcal{E}_{\cal S} = \frac{Eh^3}{24}\int \frac{\tau^2}{\kappa}\log(v_2/v_1)\,ds$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统化地设计具有弯曲薄片的弯曲折纸结构，以确保折叠过程中的几何兼容性？
• RQ2 厚度 $h$ 在决定弯曲薄片中储存的弹性势能方面起什么作用？$h^3$ 缩放如何影响设计的灵活性？
• RQ3 基于等距性和共形群的群轨道方法能否生成新颖的弯曲折纸图案，使其更符合现实世界中的屈曲现象？
• RQ4 基于纹线和形变梯度的拉格朗日公式如何确保褶皱处的连续性和兼容性？
• RQ5 共形群基折纸图案在多大程度上与压缩圆柱形和圆锥形壳体中观察到的屈曲模式相似？

主要发现

• 证明了一个通用定理，表征了具有弯曲薄片的兼容弯曲折纸结构，要求闭合环路上的反射矩阵乘积为单位矩阵，这意味着薄片数量必须为偶数。
• 群轨道方法成功生成了使用螺旋、圆周和共形群的复杂对称弯曲折纸图案，其中共形群生成的图案与压缩壳体中的实验屈曲现象高度匹配。
• 弯曲薄片中储存的能量由 $\mathcal{E}_{\cal S} = \frac{Eh^3}{24}\int \frac{\tau^2}{\kappa}\log(v_2/v_1)\,ds$ 给出，$h^3$ 缩放使得通过改变厚度可广泛调节能量景观。
• 构建了米拉图案的弯曲薄片推广形式，通过厚度控制展示了兼容性和能量可调性。
• 基于共形群的设计与自然形态（如海洋生物）以及压缩圆柱体和圆锥体中的屈曲模式惊人地相似，其匹配质量优于经典 Yoshimura 图案。
• 该方法为将来的分岔和屈曲研究提供了显式测试函数，具有可计算的能量景观。