[论文解读] Desingularization of complex multiple zeta-functions

Hidekazu Furusho, Yasushi Komori+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出一种去奇点化方法，以解决广义欧拉-扎吉尔型复多重zeta函数中无穷多个奇点超平面的问题，通过带移位参数的有限线性组合将其转化为整函数。关键结果是去奇点化函数在非正整数点处给出明确定义的特殊值，其表达式明确以伯努利数表示。

ABSTRACT

We introduce the method of desingularization of multi-variable multiple zeta-functions (of the generalized Euler-Zagier type), under the motivation of finding suitable rigorous meaning of the values of multiple zeta-functions at non-positive integer points. We reveal that multiple zeta-functions (which are known to be meromorphic in the whole space with infinitely many singular hyperplanes) turn to be entire on the whole space after taking the desingularization. The desingularized function is given by a suitable finite `linear' combination of multiple zeta-functions with some arguments shifted. It is shown that specific combinations of Bernoulli numbers attain the special values at their non-positive integers of the desingularized ones. We also discuss twisted multiple zeta-functions, which can be continued to entire functions, and their special values at non-positive integer points can be explicitly calculated.

研究动机与目标

• 解决多重zeta函数在非正整数点处的不确定性问题，这些点位于无穷多个奇点超平面上。
• 提供一种严格且无歧义的定义，用于多重zeta函数在非正整数点的取值，克服依赖极限定义所带来的模糊性。
• 将单变量情形下去除奇点的思想（如(s−1)ζ(s)为整函数）推广至多变量情形。
• 将去奇点化方法扩展至扭曲多重zeta函数，推导其整函数延拓及特殊值。
• 建立去奇点化取值的显式公式，特别针对广义欧拉-扎吉尔型的情形。

提出的方法

• 将去奇点化多重zeta函数构造为带变量依赖系数的移位多重zeta函数的有限线性组合。
• 利用奇点超平面的结构（例如s_r=1, s_{r-1}+s_r=2,1,0,...）指导移位量与系数的选择，以抵消奇点。
• 将该方法应用于广义欧拉-扎吉尔型多重zeta函数ζ_r((s_j);(γ_j))及其单位根形式的扭曲版本。
• 利用多重伯努利数推导去奇点化函数在非正整数点的显式公式。
• 通过代数恒等式证明所有奇点被完全抵消，从而验证去奇点化函数的整性。
• 利用已知恒等式如ζ_2(0,s) = ζ(s−1)−ζ(s)，将去奇点化取值与已知zeta函数关联，以验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管因奇点超平面的存在导致不确定性，是否仍可为多重zeta函数在非正整数点赋予严格且无歧义的取值？
• RQ2 能否通过其移位版本的有限线性组合，从亚纯多重zeta函数构造出一个整函数？
• RQ3 去奇点化多重zeta函数在非正整数点的特殊值具有何种显式形式？
• RQ4 去奇点化函数的特殊值与多重伯努利数之间存在何种关系？
• RQ5 去奇点化方法与现有重整化技术（如Guo-Zhang、Manchon-Paycha）之间是否存在关联？

主要发现

• 去奇点化多重zeta函数在C^r上为整函数，所有奇点均通过移位zeta函数的有限线性组合被完全消除。
• 当r=2时，(−k,−l)点的去奇点化取值由伯努利数的双重求和给出：ζ²_des(−k,−l;1,1) = (−1)^{k+l} Σ Σ Σ B_{k+ν+κ+1}B_{l−κ+ρ+1}B_{m−ν−ρ+1} γ₁^{k+ν+κ+1}γ₂^{l−κ+ρ+1}，其中包含多项式系数。
• 当r=3时，(−k,−l,−m)点的去奇点化取值被显式计算为伯努利数与多项式系数的三重求和。
• 在(−1,1;1,1)点，去奇点化函数取值为1/8；在(−1,4;1,1)点，取值为ζ(3)−ζ(4)，与已知zeta函数值一致。
• 该方法得到的取值与重整化技术不同：例如ζ²_des(0,−2;1,1) = 1/18，与Guo-Zhang的1/120和Manchon-Paycha的7/720不同。
• 去奇点化函数允许对非可接受指标（如(1,1)、(2,1)）进行明确定义的取值，结果为ζ²_des(1,1;1,1) = 1/2，ζ²_des(2,1;1,1) = −ζ(2)+2ζ(3)。