[论文解读] Determination of a Type of Permutation Trinomials over Finite Fields

Xiang‐dong Hou|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文确定了有限域 $ \mathbb{F}_q $ 上形如 $ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ 的三项式在 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上成为置换多项式的显式必要且充分条件，区分了奇数 $ q $ 和偶数 $ q $ 的情况。主要贡献是对此类置换三项式的完整分类，解决了与由 $ \mathbb{F}_q $ 上求和定义的函数方程相关的 $ g_{n,q} $ 置换性质问题。

ABSTRACT

Let $f=a{ t x} +b{ t x}^q+{ t x}^{2q-1}\in\Bbb F_q[{ t x}]$. We find explicit conditions on $a$ and $b$ that are necessary and sufficient for $f$ to be a permutation polynomial of $\Bbb F_{q^2}$. This result allows us to solve a related problem. Let $g_{n,q}\in\Bbb F_p[{ t x}]$ ($n\ge 0$, $p= ext{char}\,\Bbb F_q$) be the polynomial defined by the functional equation $\sum_{c\in\Bbb F_q}({ t x}+c)^n=g_{n,q}({ t x}^q-{ t x})$. We determine all $n$ of the form $n=q^α-q^β-1$, $α>β\ge 0$, for which $g_{n,q}$ is a permutation polynomial of $\Bbb F_{q^2}$.

研究动机与目标

• 确定形如 $ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ 的三项式在 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上成为置换多项式的必要且充分条件，其中 $ q $ 为素数幂。
• 解决一个相关开放问题，即由函数方程 $ \sum_{c \in \mathbb{F}_q} (x + c)^n = g_{n,q}(x^q - x) $ 定义的多项式 $ g_{n,q} $ 的置换性质。
• 刻画所有形如 $ n = q^\alpha - q^\beta - 1 $（其中 $ \alpha > \beta \geq 0 $）的整数 $ n $，使得 $ g_{n,q} $ 是 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的置换多项式。
• 提出一种新方法，用于证明方程 $ a x + b x^q + x^{2q-1} = y $ 在 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 中解的唯一性，利用代数恒等式和迹条件。
• 建立 $ f $ 的置换性质与 $ g_{n,q} $ 结构之间的联系，特别是在 $ n = q^\alpha - q^\beta - 1 $ 的情况下。

提出的方法

• 对于奇数 $ q $，通过判别式分析和代换技巧，推导出 $ a, b \in \mathbb{F}_q^* $ 的条件，使得 $ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ 在 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上置换。
• 对于偶数 $ q $，采用迹条件 $ \operatorname{Tr}_{q/2}(1/(a+1)) = 0 $ 和 $ \operatorname{Tr}_{q/2}(1/b) = 0 $，并通过 $ d \in \mathbb{F}_q \setminus \mathbb{F}_2 $ 的有理函数表达解。
• 使用生成函数和洛朗级数中的常数项提取技术，计算模 $ p $ 的二项式系数的复杂数值和。
• 应用涉及 $ \sum_{l} \binom{l+2}{2} \binom{-l}{l} z^l $、$ \sum_{l} (l+1) \binom{-l}{l} z^l $ 等恒等式，简化 $ g_{n,q} $ 的函数方程。
• 通过可逆变量代换将 $ g_{n,q} $ 模 $ x^{q^2} - x $ 变换为 $ A x + B x^q + C x^{2q-1} $ 的形式，将问题约化为定理 A。
• 利用已知的置换多项式与射影几何结果，描述集合 $ \mathcal{X} $，即使得 $ a x + b x^q + c x^{2q-1} $ 在 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上为置换多项式的射影三元组 $ [a:b:c] $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ q $ 为奇数时，对于哪些 $ a, b \in \mathbb{F}_q $，三项式 $ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ 是 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的置换多项式？
• RQ2 当 $ q $ 为偶数时，$ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ 在 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上置换的 $ a, b \in \mathbb{F}_q $ 的必要且充分条件是什么？
• RQ3 对于哪些整数 $ n = q^\alpha - q^\beta - 1 $（其中 $ \alpha > \beta \geq 0 $），多项式 $ g_{n,q} $ 是 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的置换多项式？
• RQ4 如何利用函数方程 $ \sum_{c \in \mathbb{F}_q} (x + c)^n = g_{n,q}(x^q - x) $ 来刻画置换多项式 $ g_{n,q} $？
• RQ5 参数化形如 $ a x + b x^q + c x^{2q-1} $ 的置换三项式的集合 $ \mathcal{X} \subset \text{PG}(2, \mathbb{F}_q) $ 的几何结构是什么？

主要发现

• 当 $ q $ 为奇数时，$ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ 是 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的置换多项式当且仅当满足以下四个条件之一：(i) $ a(a-1) $ 为平方数且 $ b^2 = a^2 + 3a $；(ii) $ a = 1 $ 且 $ b^2 - 4 $ 为平方数；(iii) $ a = 3, b = 0, q \equiv -1 \pmod{6} $；(iv) $ a = b = 0, q \equiv 1,3 \pmod{6} $。
• 当 $ q > 2 $ 为偶数时，$ f $ 是 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的置换多项式当且仅当：(i) $ a \neq 1 $，$ \operatorname{Tr}_{q/2}(1/(a+1)) = 0 $，且 $ b^2 = a^2 + a $；或 (ii) $ a = 1 $，$ b \neq 0 $，且 $ \operatorname{Tr}_{q/2}(1/b) = 0 $。
• 所有使得 $ g_{n,q} $ 是 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上置换多项式的 $ n = q^\alpha - q^\beta - 1 $ 已被完全刻画：对于偶数 $ q $，条件由定理 C 给出；对于奇数 $ q $，通过变量代换可由定理 A 推出。
• 对于偶数 $ q $，射影三元组 $ [a:b:c] $ 的集合 $ \mathcal{X} $（使得 $ a x + b x^q + c x^{2q-1} $ 是 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的置换多项式）被显式描述为四个族的并集，参数由 $ d \in \mathbb{F}_q \setminus \mathbb{F}_2 $ 给出。
• 洛朗级数展开中常数项的计算导致一个四次多项式出人意料地分解为有理函数，从而导出关键求和的闭式表达式。
• 通过留数计算和基于迹的系数提取，建立了恒等式 $ \sum_{l} \binom{l+2}{2} \binom{-l}{l+1} z^l = \frac{3z(1+2z)}{(1+4z)^2} $（当 $ q > 2 $ 时），该恒等式对证明主要定理至关重要。