[论文解读] Determining equations of families of cyclic curves

R. Sanjeewa, Tony Shaska|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 26

一句话总结

本文通过利用约化自同构群 $\bar{G}$ 和生成固定域的有理函数 $\phi(x)$，在奇特征代数闭域上确定了循环代数曲线族的参数方程。主要贡献是对每种可能的 $\bar{G}$（包括 $A_5$、$S_4$、$A_4$、$D_{2m}$、$C_m$ 以及 $PSL(2,q)$、$PGL(2,q)$ 和 $K_m$ 等群）进行了此类方程的完整分类，通过分歧签名和 Hurwitz 空间维数公式推导出显式形式。

ABSTRACT

In previous work we determined automorphism groups of cyclic algebraic curves defined over fields of any odd characteristic. In this paper we determine parametric equations of families of curves for each automorphism group for such curves.

研究动机与目标

• 在奇特征代数闭域上，对 genus $g \geq 2$ 的循环代数曲线的所有可能自同构群 $G$ 进行分类。
• 基于约化自同构群 $\bar{G} = G / \langle w \rangle$（其中 $w$ 生成循环正规子群），确定每一类此类曲线的对应参数方程。
• 通过构造生成固定域 $k(x)^{\bar{G}}$ 的有理函数 $\phi(x)$，并利用分歧签名与 Hurwitz 空间维数公式，为每一类提供显式方程。
• 系统性地列出所有可能方程，以对称多项式和与 $\bar{G}$ 相关的不变量表示，包括 $A_5$、$S_4$、$A_4$、$D_{2m}$、$C_m$ 以及经典群如 $PSL(2,q)$ 和 $PGL(2,q)$ 的情形。

提出的方法

• 该方法首先识别约化自同构群 $\bar{G} \leq PGL_2(k)$，其作用于有理函数域 $k(x)$，并确定一个有理函数 $\phi(x)$ 以生成固定域 $k(x)^{\bar{G}}$。
• 利用 Riemann-Hurwitz 公式，计算覆盖 $\mathcal{X}_g \to \mathbb{P}^1$ 的分歧签名 $\sigma$，并推导出 Hurwitz 空间 $\mathcal{H}(G,\sigma)$ 的维数 $\delta$。
• 曲线 $\mathcal{X}_g$ 表示为 $y^n = F(x)$，其中 $F(x)$ 由覆盖的分支点构造而成，且 $F(x)$ 的形式取决于 $\bar{G}$ 和分支点数 $\delta$。
• 对每个 $\bar{G}$，论文将 $F(x)$ 构造为对称多项式或特殊不变量的乘积：例如，对于 $D_{2m}$，有 $F(x) = \prod_{i=1}^\delta (x^{2m} + \lambda_i x^m + 1)$；对于 $PSL(2,q)$，有 $F(x) = \prod_{i=1}^\delta \left( (x^q - x)^{q-1} + 1 - \lambda_i (x^q - x)^{q(q-1)/2} \right)$。
• 方程通过系数 $\lambda_i$ 参数化，家族被系统分类为表6中的45种不同情形，每种情形对应特定的 $\bar{G}$ 和 $\delta$，并给出 $M(x)$、$\Lambda(x)$、$Q(x)$、$B(x)$、$\Delta(x)$ 和 $\Omega(x)$ 的显式形式。
• 该构造确保所得曲线的亏格 $g \geq 2$，自同构群为 $G$，且 $G$ 包含一个正规循环子群 $C_n$，使得商曲线的亏格为0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇特征代数闭域上，genus $g \geq 2$ 的循环代数曲线的可能自同构群 $G$ 是什么？它们如何通过约化群 $\bar{G} = G / \langle w \rangle$ 分解？
• RQ2 对每个此类 $\bar{G}$，曲线 $\mathcal{X}_g$ 的参数方程（形式为 $y^n = F(x)$）是什么？$F(x)$ 的系数如何确定？
• RQ3 分歧签名 $\sigma$ 与 Hurwitz 空间 $\mathcal{H}(G,\sigma)$ 的维数 $\delta$ 如何影响 $F(x)$ 的结构？
• RQ4 对于例外群 $A_5$、$S_4$、$A_4$、$PSL(2,q)$、$PGL(2,q)$ 和 $K_m$，$F(x)$ 的显式形式是什么？它们与 $D_{2m}$ 和 $C_m$ 情况有何不同？
• RQ5 如何利用生成固定域 $k(x)^{\bar{G}}$ 的有理函数 $\phi(x)$，从其单值性与分支点重构曲线的完整方程？

主要发现

• 本文对循环曲线族的参数方程提供了完整分类，表6列出了45种不同情形，每种情形对应一个特定的约化自同构群 $\bar{G}$。
• 当 $\bar{G} \cong A_5$ 时，方程为 $y^n = Q(x) \cdot \Lambda(x)$，其中 $Q(x) = x^{30} + 522x^{25} - 10005x^{20} - 10005x^{10} - 522x^5 + 1$，而 $\Lambda(x)$ 是一个关于 $x$ 的60次多项式，其系数依赖于表6中定义的参数 $\lambda_i$。
• 当 $\bar{G} \cong PSL(2,q)$ 时，方程为 $y^n = \left( (x^q - x)^{q-1} + 1 \right)^{\frac{q+1}{2}} - \lambda_i (x^q - x)^{\frac{q(q-1)}{2}}$，其中 $\Delta(x)$ 是 $\delta$ 项的乘积。
• 当 $\bar{G} \cong PGL(2,q)$ 时，方程为 $y^n = \left( (x^q - x)^{q-1} + 1 \right)^{q+1} - \lambda_i (x^q - x)^{q(q-1)}$，其中 $\Omega(x)$ 是 $\delta$ 项的乘积。
• 当 $\bar{G} \cong K_m$ 时，方程为 $y^n = x \cdot \prod_{j=1}^{(p^t - 1)/m} (x^m - b_j) \cdot \Theta(x)$，其中 $\Theta(x)$ 是涉及 $H_t$ 中加法特征的 $\delta$ 项乘积。
• 通过 Riemann-Hurwitz 公式，显式计算了每个情形下模空间 $\mathcal{H}(G,\sigma)$ 的维数 $\delta$，且参数 $\lambda_i$ 的数量恰好等于 $\delta$，确保了族在一般情况下为 $\delta$-维。