[论文解读] Deterministic graph connectivity in the broadcast congested clique

Pedro Montealegre, Ioan Todinca|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2016

Interconnection Networks and Systems参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文首次在广播式拥塞团模型中提出了图连通性问题的确定性常数轮协议，且消息大小为次线性。该工作提出了一种新颖的确定性稀疏线性投影技术，以实现图的高效d-剪枝（d-pruning），在⌈1/ε⌉轮内完成连通性计算，每轮使用O(n^ε log n)比特消息；当节点具备r跳邻域知识时，可在单轮内完成连通性计算，每轮使用O(n^{1/r} log n)比特消息。

ABSTRACT

We present deterministic constant-round protocols for the graph connectivity problem in the model where each of the $n$ nodes of a graph receives a row of the adjacency matrix, and broadcasts a single sublinear size message to all other nodes. Communication rounds are synchronous. This model is sometimes called the broadcast congested clique. Specifically, we exhibit a deterministic protocol that computes the connected components of the input graph in $\lceil 1/ε ceil$ rounds, each player communicating $\mathcal{O}(n^ε \cdot \log n)$ bits per round, with $0 < ε\leq 1$. We also provide a deterministic one-round protocol for connectivity, in the model when each node receives as input the graph induced by the nodes at distance at most $r>0$, and communicates $\mathcal{O}(n^{1/r} \cdot \log n)$ bits. This result is based on a $d$-pruning protocol, which consists in successively removing nodes of degree at most $d$ until obtaining a graph with minimum degree larger than $d$. Our technical novelty is the introduction of deterministic sparse linear sketches: a linear compression function that permits to recover sparse Boolean vectors deterministically.

研究动机与目标

• 设计一种在广播式拥塞团模型中使用次线性消息大小的图连通性确定性协议。
• 通过引入具有可证明轮数与消息复杂度的确定性替代方案，克服先前随机化协议的局限性。
• 开发一种新颖的d-剪枝协议，高效地从图中移除低度节点，同时保持连通性结构。
• 在节点具备r跳邻域信息的条件下，实现单轮连通性计算，优于先前的轮数复杂度。
• 提出一种确定性稀疏线性投影技术，可精确恢复稀疏布尔向量，具有超越连通性问题的潜在应用价值。

提出的方法

• 提出一种d-剪枝协议，通过迭代移除图中度数不超过d的节点，利用确定性线性压缩函数恢复邻接信息。
• 基于Schwartz-Zippel引理，引入一种去随机化的指纹技术，构建能唯一标识d-稀疏布尔向量的线性投影。
• 利用投影函数的单射性，使节点能从压缩消息中重建低度节点的邻接关系。
• 将d-剪枝协议作为子程序，应用于多轮连通性协议中，每轮通过邻居广播合并连通分量。
• 在单轮模型中，节点通过在每个长度≤2r的环中选择最大边，计算边缩减图G̃，利用G与G̃具有相同连通性的事实。
• 利用围长≥2r的图的退化性界O(n^{1/r})，在单轮内以d=O(n^{1/r})应用d-剪枝协议。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在广播式拥塞团模型中，以次线性消息大小和常数轮数实现图连通性的确定性求解？
• RQ2 能否设计一种确定性d-剪枝协议，使每节点消息复杂度达到最优O(d log n)？
• RQ3 当节点具备r跳邻域信息时，能否在单轮内解决连通性问题？最优消息大小是多少？
• RQ4 确定性线性投影在压缩稀疏布尔向量以支持分布式计算中扮演何种角色？
• RQ5 d-剪枝协议能否被适配于其他图问题，如二分图检测或动态图流处理？

主要发现

• 在BClique[n^ε log n]模型中，实现了⌈1/ε⌉轮的确定性连通性协议，每轮每个节点发送O(n^ε log n)比特消息。
• 在BClique_r[n^{1/r} log n]模型中，提出了单轮确定性连通性协议，其中节点具备r跳邻域知识。
• d-剪枝协议在单轮内运行，每节点使用O(d log n)比特消息，该复杂度在对数因子内最优，因存在指数级数量的d-退化图。
• 所提出的稀疏线性投影技术基于去随机化指纹方法，可利用单个线性函数实现对d-稀疏布尔向量的确定性恢复。
• 协议确保剪枝后图的生成森林与原图完全一致，从而保持连通性结构。
• 该方法可扩展用于检测二分性，并可在动态图流模型中实现，空间复杂度为O(nd log n)。