[论文解读] MSF and Connectivity in Limited Variants of the Congested Clique

Tomasz Jurdziński, Krzysztof Nowicki|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了广播冲突团（r=1）中连通分量问题的第一个亚对数时间算法，并在 rcast(n,2) 模型中实现了确定性 MSF 和随机化 CC 算法的高效实现。该算法在保持低轮复杂度的同时实现了最优边容量，证明了当 r=2 时，仅需极小的开销即可实现接近单播的通信能力。

ABSTRACT

The congested clique is a synchronous, message-passing model of distributed computing in which each computational unit (node) in each round can send message of O(log n) bits to each other node of the network, where n is the number of nodes. This model has been considered under two extreme scanarios: unicast or broadcast. In the unicast model, a node can send (possibly) different message to each other node of the network. In contrast, in the broadcast model each node sends a single (the same) message to all other nodes. We study the congested clique model parametrized by the range r, the maximum number of different messages a node can send in one round. Following recent progress in design of algorihms for graph connectivity and minimum span- ning forest (MSF) in the unicast congested clique, we study these problems in limited variants of the congested clique. We present the first sub-logarithmic algorithm for connected components in the broadcast congested clique. Then, we show that efficient unicast deterministic algorithm for MSF and randomized algorithm for connected components can be efficiently imple- mented in the rcast model with range r = 2, the weakest model of the congested clique above the broadcast variant (r = 1) in the hierarchy with respect to range. More importantly, our al- gorithms give the first solutions with optimal capacity of communication edges, while preserving small round complexity.

研究动机与目标

• 通过研究具有有界范围 r 的中间 rcast 模型，填补广播（r=1）与单播（r=n）模型之间的差距。
• 在受限范围的冲突团变体中，设计最小生成森林（MSF）与连通分量（CC）问题的高效算法，特别是 rcast(n,2) 模型。
• 在这些模型中实现最优通信容量（边容量），同时保持低轮复杂度。
• 探索分布式图算法中自适应性（轮复杂度）与总通信容量之间的权衡。

提出的方法

• 通过范围 r 参数化冲突团模型，将 rcast(n,r) 定义为每个节点每轮最多可发送 r 个不同消息的模型。
• 使用多草图技术和本地/全局广播原语，以低边容量高效传播连通分量与元边信息。
• 通过代表集与本地节点协调，在分阶段执行 Boruvka 算法，以最小通信量识别跨分量边。
• 采用随机选择策略：每个连通分量中编号最小的节点选择并广播一个随机的关联元边，以保持低通信开销。
• 应用分层分解方法，使连通分量大小呈超指数增长，从而实现亚对数时间收敛。
• 通过依赖于连通分量大小的对数因子，对每轮消息大小进行有界，证明总边容量为 O(log n)

实验结果

研究问题

• RQ1 在广播冲突团（r=1）中，连通分量能否在 o(log n) 轮内计算完成？
• RQ2 在 rcast(n,2) 模型中，能否实现具有最优边容量与低轮复杂度的高效 MSF 与 CC 算法？
• RQ3 在小范围 r 的 rcast 模型中，轮复杂度与总通信容量之间存在何种关系？
• RQ4 与单播模型相比，rcast(n,2) 模型在图问题求解上的计算能力如何？
• RQ5 在广播冲突团中，是否可能实现 MSF 或 CC 问题的亚对数轮复杂度？

主要发现

• 本文首次提出广播冲突团（r=1）中连通分量问题的亚对数时间算法，以高概率实现 O(log* n) 轮复杂度。
• 在 rcast(n,2) 模型中，实现了确定性 MSF 算法 [11] 的高效实现，总边容量为 O(log n)，轮复杂度为 O(log* n)。
• 在 rcast(n,2) 模型中，实现了随机化连通分量算法 [5]，具有最优边容量与低轮复杂度。
• 所提算法的总边容量为 O(log n)，在常数因子范围内已达到最优。
• rcast(n,2) 模型在仅增加常数因子通信容量的前提下，实现了接近单播的通信能力，同时保持了低轮复杂度。
• 结果表明，r=2 已足够实现具有最优通信容量的高效 MSF 与 CC 算法，标志着向弥合广播与单播模型差距迈出了重要一步。