[论文解读] Diagrams for perverse sheaves on isotropic Grassmannians and the supergroup SOSP(m|2n)

Michael Ehrig, Catharina Stroppel|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文引入了一个图示化的、分次的科什乌尔代数 $Δ_k$，通过广义柯洪诺夫代数的折叠构造，范畴化地实现了类型 $D_k$ 的各向同性格拉斯曼流形上的 perverse 她aves。关键结果建立了 $Δ_k$-模的有限维范畴与各向同性格拉斯曼流形上 perverse 她aves 的范畴之间的显式等价关系，并将其应用于正交对称超级群 $ϳοσπ(m|2n)$ 的表示理论，提供了其有限维表示的明确图示化描述。

ABSTRACT

We describe diagrammatically a positively graded Koszul algebra \mathbb{D}_k such that the category of finite dimensional \mathbb{D}_k-modules is equivalent to the category of perverse sheaves on the isotropic Grassmannian of type D_k constructible with respect to the Schubert stratification. The connection is given by an explicit isomorphism to the endomorphism algebra of a projective generator described in by Braden. The algebra is obtained by a "folding" procedure from the generalized Khovanov arc algebras. We relate this algebra to the category of finite dimensional representations of the orthosymplectic supergroups. The proposed equivalence of categories gives a concrete description of the categories of finite dimensional SOSP(m|2n)-modules.

研究动机与目标

• 构造一个图示化的、分次的科什乌尔代数 $Δ_k$，以建模类型 $D_k$ 的各向同性格拉斯曼流形上 perverse 她aves 的范畴。
• 建立 $Δ_k$ 与 perverse 她aves 范畴中一个极小投影生成元的自同态代数之间的显式同构。
• 通过图示等价关系，将代数 $Δ_k$ 与正交对称超级群 $ϳοσπ(m|2n)$ 的表示理论联系起来。
• 提供 $ϳοσπ(m|2n)$-模的有限维范畴的明确图示化定义描述。

提出的方法

• 代数 $Δ_k$ 作为类型 $D_k$ 的广义柯洪诺夫弧代数的折叠版本被构造，使用带装饰的定向圆图来编码符号与分次。
• 每个 $Δ_k$ 的基元素对应于一个由杯图 $“\underline{\lambda}”$ 与其上下翻转的对偶 $“\overline{\mu}”$ 组合而成的装饰圆图，形成 $“\underline{\lambda}\overline{\mu}”$。
• 通过圆图并集之间的 cobordism 类似结构定义 $Δ_k$ 中的乘法，通过图装饰引入符号以确保结合律。
• perverse 她aves 范畴的 Ext-Quiver 以图示方式实现，顶点标记为杯图，边对应于相连点处的杯图交换。
• 通过计数具有指定分次的定向圆图，计算分次 Cartan 矩阵 $C_k$，从而提供分解数的图示公式。
• 在 $(n,m)$-钩分拆与满足 $\mathrm{def}(\mu) + \#\times(\mu) = m$ 且 $\#\circ(\mu) - \#\times(\mu) = n - m$ 的超级权图之间定义双射 $\lambda \mapsto \lambda^\circ$，将表示论数据与图示权联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个图示化的、分次的代数，以建模类型 $D_k$ 的各向同性格拉斯曼流形上 perverse 她aves 的范畴？
• RQ2 该范畴的 Ext-Quiver 与分次 Cartan 矩阵的精确图示实现是什么？
• RQ3 折叠的广义柯洪诺夫代数 $Δ_k$ 如何与正交对称超级群 $ϳοσπ(m|2n)$ 的表示理论相关联？
• RQ4 是否能通过一个图示代数来描述 $ϳοσπ(m|2n)$-模的有限维范畴？若是，其结构如何？
• RQ5 极限代数 $\mathbb{H}_k^\infty$ 在实现范畴 $\mathcal{F}(\operatorname{SOSP}(m|2n))$ 中典型性为 $k$ 的块时起什么作用？

主要发现

• 代数 $Δ_k$ 同构于各向同性格拉斯曼流形类型 $D_k$ 上 perverse 她aves 范畴中一个极小投影生成元的自同态代数，从而建立了明确的图示化模型。
• $Δ_k$ 中的乘法是结合且分次的，其分次与 [BGS96] 中的几何科什乌尔分次相容。
• perverse 她aves 范畴的 Ext-Quiver 以一个有限图实现，顶点标记为杯图，边对应于相连点处的杯图交换。
• 分次 Cartan 矩阵 $C_k$ 通过计数具有指定分次的定向圆图 $“\overline{\lambda}\mu”$ 来图示化计算，从而提供分解数的组合公式。
• 在 $(n,m)$-钩分拆与满足 $\mathrm{def}(\mu) + \#\times(\mu) = m$ 且 $\#\circ(\mu) - \#\times(\mu) = n - m$ 的超级权图之间构造了双射 $\lambda \mapsto \lambda^\circ$，将图示数据与超级群表示论联系起来。
• 有限维 $ϳοσπ(m|2n)$-模的范畴被猜想与商代数 $\mathbb{H}_k^\infty / \mathbb{I}$ 的有限维模范畴等价，且该等价将投影模与单模映射为其图示对应物。