[论文解读] Difference of a Hauptmodul for $\Gamma_{0}(N)$ and certain Gross-Zagier type CM value formulas

Dongxi Ye|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文证明了 genus zero Hecke 同余子群 $Γ_0(N)$ 的 Hauptmodul 差为 (2,2) 型 Borcherds 提升，推广了经典的 $j(\tau_1) - j(\tau_2)$ 构造。利用此结果，作者推导出适用于素数水平 $p \in \{3,5,7,13\}$ 的 Hauptmodul 的新型 Monster 分母公式类乘积展开式与 Gross–Zagier 型 CM 值公式，通过 theta 提升与 Whittaker 函数实现统一的解析方法，扩展了经典结果。

ABSTRACT

In this work, we show that the difference of a Hauptmodul for a genus zero group $\Gamma_{0}(N)$ as a Hilbert modular function on $Y_{0}(N) imes Y_{0}(N)$ is a Borcherds lift of type $(2,2)$. As applications, we derive Monster denominator formula like product expansions for these Hilbert modular functions and certain Gross-Zagier type CM value formulas.

研究动机与目标

• 将 $j(\tau_1) - j(\tau_2)$ 的 Borcherds 提升结构推广至 genus zero $\Gamma_0(N)$ 群的 Hauptmodul。
• 通过基于 theta 提升的统一解析构造，建立 $\Gamma_0(N)$ 的 Hauptmodul 差为 (2,2) 型 Borcherds 提升。
• 为这些模函数推导出新的类似 Monster 分母公式的乘积展开式。
• 利用 Borcherds 提升结构，为素数水平 $p \in \{3,5,7,13\}$ 的 Hauptmodul 推导出 Gross–Zagier 型 CM 值公式。
• 通过局部 Whittaker 函数与 theta 提升，提供 CM 值公式的新型解析证明，将先前结果扩展至非平方自由水平。

提出的方法

• 基于对 Siegel theta 函数的 theta 提升，采用统一方法构造 $\pi_N(\tau_1) - \pi_N(\tau_2)$ 的 (2,2) 型 Borcherds 提升。
• 利用 Bruinier、Kudla 与 Yang 的大 CM 值公式，将 Borcherds 提升与 Hauptmodul 的 CM 值联系起来。
• 通过显式 $p$-进积分与 Gauss 和，计算 $p$-进位置处的局部 Whittaker 函数 $W_t(s, \varphi)$，特别针对 $p \in \{3,5,7,13\}$。
• 通过分析 $p$-进积分与特征和，推导出非分歧与分歧位置处局部 Whittaker 函数的显式公式。
• 通过标准 Whittaker 展开与局部因子，将 Hecke 特征形式的 $L$-函数与 Whittaker 函数关联。
• 利用所得 Whittaker 函数值，计算 CM 点上 $\log|\pi_p(\tau_{a_1}) - \pi_p(\tau_{a_2})|$ 的平均值，从而导出 Gross–Zagier 型公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $\Gamma_0(N)$ 的 Hauptmodul 差为 (2,2) 型 Borcherds 提升，从而推广经典 $j(\tau_1) - j(\tau_2)$ 情形？
• RQ2 能否将类似 Monster 分母公式的乘积展开式推广至 $\Gamma_0(N)$ 的 Hauptmodul，其中 $N$ 不必为平方自由？
• RQ3 在素数水平 $p \in \{3,5,7,13\}$ 时，$\pi_p(\tau)$ 的 CM 值公式结构为何？其与 Borcherds 提升有何关联？
• RQ4 $p$-进位置处的局部 Whittaker 函数如何通过 theta 提升参与全局 CM 值公式？
• RQ5 基于 $p$-进积分与 Gauss 和的新解析方法，能否在非平方自由情形下统一推导出 Gross–Zagier 公式？

主要发现

• 对于 $\Gamma_0(N)$ 的 Hauptmodul $\pi_N$，差 $\pi_N(\tau_1) - \pi_N(\tau_2)$ 为 (2,2) 型 Borcherds 提升，推广了经典 $j(\tau_1) - j(\tau_2)$ 情形。
• 对于 $p \in \{3,5,7,13\}$，作者推导出 $\pi_p(\tau)$ 的新型 Gross–Zagier 型 CM 值公式，表示为对 CM 点的加权和，权重为局部 Whittaker 函数。
• 在 $p$-进位置处，局部 Whittaker 函数 $W_t(s, \varphi)$ 被显式计算，其值依赖于 Legendre 符号与 $t = (2m + D + \sqrt{D})/2$ 的 $p$-进赋值。
• 对 $\log|\pi_p(\tau_{a_1}) - \pi_p(\tau_{a_2})|$ 的平均值公式涉及对满足 $|2m + D| < \sqrt{D}$ 的 $t$ 求和，权重为 $\rho(tp^{-1})$ 与局部 Hilbert 符号。
• 推导过程利用大 CM 值公式与显式 $p$-进积分计算，为 CM 公式提供了超越先前方法的新解析证明。
• 结果通过去除平方自由限制并采用基于 theta 提升与 $p$-进分析的更自然解析方法，扩展了 Scheithauer 的工作。