[论文解读] Differential operators on G/U and the affine Grassmannian

Victor Ginzburg, Simon Riche|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 11

一句话总结

本文建立了仿射格拉斯曼流形上等变上同调的三种实现之间的等价性：通过基本仿射空间 $ G/U $ 上的 $ D $-模，通过普遍韦尔马模的交织算子，以及通过球对称 perverse 丛的拓扑等变上同调。关键贡献在于通过朗兰兹对偶群及微分算子与包络代数的渐近 Rees 代数统一起来，建立了这三种构造之间的 Weyl 群-等变同构。

ABSTRACT

We describe the equivariant cohomology of cofibers of spherical perverse sheaves on the affine Grassmannian of a reductive algebraic group in terms of the geometry of the Langlands dual group. In fact we give two equivalent descriptions: one in terms of D-modules of the basic affine space, and one in terms of intertwining operators for universal Verma modules. We also construct natural collections of isomorphisms parametrized by the Weyl group in these three contexts, and prove that they are compatible with our isomorphisms. As applications we reprove some results of the first author and of Braverman-Finkelberg.

研究动机与目标

• 将仿射格拉斯曼流形上球对称 perverse 丛的余纤维的等变上同调与朗兰兹对偶群上的表示论结构联系起来。
• 为这些上同调群提供两种等价的几何与代数描述：一种是基于基本仿射空间 $ G/U $ 上的 $ D $-模，另一种是基于普遍韦尔马模的交织算子。
• 在所有三种实现中构造并证明 Weyl 群作用的相容性，表明这些同构是 Weyl-等变的。
• 通过这一统一框架重新证明并重新诠释 Ginzburg 与 Braverman–Finkelberg 的结果。

提出的方法

• 作者在 Rees 代数 $ \mathrm{S}_{\hbar} = \mathrm{S}(\mathfrak{t})[\hbar] $ 上定义了三类分次 $ \mathrm{S}_{\hbar} $-模族，其中 $ \mathfrak{t} = \mathrm{Lie}(T) $，且 $ \hbar $ 与 $ \mathfrak{t} $ 均在度数 2 上。
• 几何族 $ \mathcal{M}^{\mathrm{geom}}_{V,\lambda} $ 定义为 $ V \otimes {}^{(\lambda)}\mathscr{D}_{\hbar}(G/U) $ 的 $ G $-不变截面，其中 $ \mathscr{D}_{\hbar}(G/U) $ 是基本仿射空间上微分算子的 Rees 代数。
• 代数族 $ \mathcal{M}^{\mathrm{alg}}_{V,\lambda} $ 定义为 $ \mathrm{Hom}_{(\mathrm{S}_{\hbar},U_{\hbar}(\mathfrak{g}))}(\mathbf{M}(0), V \otimes \mathbf{M}(\lambda)) $，其中 $ \mathbf{M}(\lambda) $ 是渐近普遍韦尔马模。
• 拓扑族 $ \mathcal{M}^{\mathrm{top}}_{\mathcal{F},\lambda} $ 由等变上同调 $ \mathsf{H}^{\bullet + \lambda(2\check{\rho})}_{{\check{T}} \times \mathbb{C}^\times}(i_\lambda^!\mathcal{F}) $ 给出，其中 $ \mathcal{F} $ 是仿射格拉斯曼流形上 $ \check{G}(\mathbf{O}) $-等变的 perverse 丛。
• 作者构造了这三类族之间的自然同构，参数化于 Weyl 群 $ W $，并证明其与 $ \check{G} $ 中 $ \check{T} $ 的正规化子所诱导的 Weyl 群作用相容。
• 该构造依赖于微分算子 Rees 代数的辛对偶性，以及对辛向量丛 $ E $ 上的 $ \mathscr{D}_{\hbar}(E) $ 所定义的自同构 $ \mathbf{F}_E $，满足 $ \mathbf{F}_E^2 = \mathrm{id} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用朗兰兹对偶群来描述仿射格拉斯曼流形上球对称 perverse 丛的余纤维的等变上同调？
• RQ2 基本仿射空间 $ G/U $ 上的 $ D $-模、普遍韦尔马模的交织算子与仿射格拉斯曼流形上的拓扑等变上同调之间的确切关系是什么？
• RQ3 Weyl 群作用在这三种实现中是如何实现并保持相容的？
• RQ4 这三种构造之间的同构能否显式描述并证明其为 Weyl-等变？
• RQ5 这些构造如何恢复或重新证明几何表示论中的已知结果，如 Ginzburg 与 Braverman–Finkelberg 的结果？

主要发现

• 作为 $ \mathrm{S}_{\hbar} $-模，三种分次 $ \mathrm{S}_{\hbar} $-模族——几何族、代数族与拓扑族——彼此同构，且同构与 Weyl 群作用相容。
• 上同调群上的 Weyl 群作用自然源于 $ N_{\check{G}}(\check{T}) $ 在仿射格拉斯曼流形上的作用，且该作用可提升为三种构造之间的同构。
• 几何族与代数族之间的同构由一个涉及微分算子 Rees 代数与普遍韦尔马模的 $ G $-不变配对所给出。
• 拓扑族 $ \mathcal{M}^{\mathrm{top}}_{\mathcal{F},\lambda} $ 天然地成为分次 $ \mathrm{S}_{\hbar} $-模，其分次被 $ \lambda(2\check{\rho}) $ 平移，且同构于其余两类族。
• 对辛向量丛 $ E $ 上的 $ \mathscr{D}_{\hbar}(E) $ 构造自同构 $ \mathbf{F}_E $ 是一个关键技术工具，满足 $ \mathbf{F}_E^2 = \mathrm{id} $，且与基空间上可逆函数的乘法可交换。
• 本文通过表明 Ginzburg 与 Braverman–Finkelberg 的构造是此统一框架的特例，重新证明了他们的结果。