[论文解读] Equivariant Coherent Sheaves, Soergel Bimodules, and Categorification of Affine Hecke Algebras

Christopher Stephen Dodd|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 12

一句话总结

本文通过索尔杰尔双模，建立了格罗滕迪克的分歧图上的等变凝聚层与范畴仿射赫克代数之间的范畴等价，推广了卡兹丹-卢茨基的几何构造。证明了这些层范畴上的弱 braid 群作用可被提升为严格作用，从而实现了具有增强代数结构的仿射赫克代数的范畴化。

ABSTRACT

We give a description of certain categories of equivariant coherent sheaves on Grothendieck's resolution in terms of the categorical affine Hecke algebra of Soergel. As an application, we deduce a relationship of these coherent sheaf categories to the categories of perverse sheaves considered in the work of Bezrukavnikov-Yun, generalizing results of Arkhipov-Bezrukavnikov. In addition, we deduce that the weak braid group action on sheaves of Riche and Bezrukavnikov-Riche can be upgraded to a strict braid group action.

研究动机与目标

• 通过格罗滕迪克分歧图上的等变凝聚层，建立仿射赫克代数的几何范畴化。
• 通过索尔杰尔双模，将等变凝聚层的范畴与范畴仿射赫克代数联系起来。
• 将凝聚层范畴上的弱 braid 群作用提升为严格 braid 群作用。
• 将卡兹丹-卢茨基的等价关系推广到仿射情形，并与奇异层范畴联系起来。
• 证明凝聚层上的奇异异类 t-结构对应于德沃克-韦尔设定下的奇异 t-结构的中心，确认了一个猜想的等价性。

提出的方法

• 构造一个从增强幂零锥上 G×Gm-等变凝聚层的导出范畴到范畴仿射赫克代数的分次模导出范畴的函子 κ。
• 利用科斯塔nt-惠特克约化，将增强幂零锥的几何与索尔杰尔双模的结构联系起来。
• 对旗流形及其分歧图应用形变理论，引入形式参数 h，以定义增强分歧图上的 D_h-模与凝聚层的范畴。
• 利用通过形变反射函子定义的核的傅里叶-穆凯变换，在导出范畴上构造 braid 群作用。
• 利用倾斜生成元与 t-结构（特别是奇异异类 t-结构）的存在性，控制范畴并证明等价性。
• 通过函子 κ 及其与卷积的相容性，构造不同 braid 词分解的卷积之间的首选同构，证明 braid 群作用从弱提升为严格。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过格罗滕迪克分歧图上的等变凝聚层，实现仿射赫克代数的范畴化？
• RQ2 等变凝聚层的范畴与索尔杰尔的范畴仿射赫克代数之间的确切关系是什么？
• RQ3 凝聚层范畴上的弱 braid 群作用能否被提升为严格 braid 群作用？
• RQ4 凝聚层上的奇异异类 t-结构与德沃克-韦尔层上的奇异 t-结构有何关系？
• RQ5 科斯塔nt-惠特克约化函子 κ 在多大程度上保持范畴结构，并诱导出等价？

主要发现

• 函子 κ 诱导了增强幂零锥上 G×Gm-等变凝聚层的导出范畴与范畴仿射赫克代数的分次模导出范畴之间的等价。
• 凝聚层范畴上的弱 braid 群作用可被提升为严格 braid 群作用，不同卷积分解之间的同构是典范且函子性的。
• 凝聚层范畴上的奇异异类 t-结构对应于德沃克-韦尔设定下奇异 t-结构的中心，确认了一个猜想的等价性。
• 科斯塔nt-惠特克约化函子 κ 保持 braid 群作用，并在索尔杰尔双模的目标范畴上诱导出严格作用。
• 此处构造的等价在对象上与 [AB] 中的一致，且通过倾斜层卷积作用于奇异层上的 braid 群作用，与从凝聚层提升而来的作用同构。
• 增强旗流形上 D_h-模的导出范畴 admits 一个严格 braid 群作用，通过限制可扩展到无分次范畴。