[论文解读] Dimension of locally and asymptotically self-similar spaces

Sergei Buyalo, Nina Lebedeva|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文建立了两个对偶结果：紧致且局部自相似的度量空间的容量维数等于其拓扑维数，且与紧致空间渐近相似的空间的渐近维数等于该紧致空间的拓扑维数。这些结果解决了格罗莫夫关于双曲群渐近维数的猜想，并构造了首个渐近维数乘积严格小于各维数之和的度量空间例子。

ABSTRACT

We obtain two in a sense dual to each other results: First, that the capacity dimension of every compact, locally self-similar metric space coincides with the topological dimension, and second, that the asymptotic dimension of a metric space, which is asymptotically similar to its compact subspace coincides with the topological dimension of the subspace. As an application of the first result, we prove the Gromov conjecture that the asymptotic dimension of every hyperbolic group G equals the topological dimension of its boundary at infinity plus 1, asdim G=dim(dG)+1. As an application of the second result, we construct Pontryagin surfaces for the asymptotic dimension, in particular, those are first examples of metric spaces X, Y with asdim(X x Y)

研究动机与目标

• 建立度量空间中局部自相似性与渐近自相似性及维数理论之间的对偶关系。
• 解决格罗莫夫猜想：双曲群的渐近维数等于其无穷远处边界拓扑维数加一。
• 构造新的度量空间例子，使得其乘积的渐近维数严格小于各自主维数之和。
• 阐明自相似与渐近自相似空间中容量维数、渐近维数与拓扑维数之间的关系。

提出的方法

• 引入 λ-准位似映射的概念，以形式化度量空间中的局部与渐近相似性。
• 以容量维数（cdim）和渐近维数（asdim）作为关键不变量，其中 cdim ≥ dim，asdim 抓住大尺度几何性质。
• 证明：若一空间在局部上与紧致空间 Y 相似，则该空间的 cdim 等于 dim Y，从而推出紧致局部自相似空间满足 cdim = dim。
• 证明：若空间 X 与紧致空间 Y 渐近相似，则 asdim X = dim Y。
• 将结果应用于双曲群的边界，通过证明 cdim(∂∞G) = dim(∂∞G)，得出 asdim G = dim(∂∞G) + 1。
• 通过自相似多面体的逆极限构造渐近自相似的庞特里亚金曲面  Π̂，并证明其渐近相似于紧致自相似空间 Π。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致且局部自相似的度量空间的容量维数是否等于其拓扑维数？
• RQ2 与紧致空间渐近相似的空间的渐近维数是否等于该紧致空间的拓扑维数？
• RQ3 双曲群的渐近维数是否等于其无穷远处边界拓扑维数加一？
• RQ4 能否构造出渐近维数乘积严格小于各自主维数之和的度量空间？
• RQ5 在度量空间中，自相似性、容量维数与渐近维数之间存在何种关系？

主要发现

• 每个紧致且局部自相似的度量空间的容量维数等于其拓扑维数，即 cdim Z = dim Z。
• 与紧致空间 Y 渐近相似的度量空间 X 的渐近维数等于 Y 的拓扑维数，即 asdim X = dim Y。
• 任意双曲群 G 的渐近维数等于其无穷远处边界拓扑维数加一：asdim G = dim ∂∞G + 1。
• 任意双曲群的无穷远处边界在赋予视觉度量后，其容量维数等于其拓扑维数：cdim ∂∞G = dim ∂∞G。
• 存在度量空间 X 和 Y，使得 asdim(X × Y) < asdim X + asdim Y，提供了渐近维数乘积定理中严格不等式成立的首个已知例子。
• 通过逆极限构造的渐近自相似庞特里亚金曲面  Π̂ 与其中的紧致模型 Π 渐近相似，且满足 asdim  Π̂ = 2，而对不同的素数 p, q，有 asdim( Π̂_p ×  Π̂_q) = 3 < 2 + 2 = 4。