[论文解读] Dirac structures on generalized Riemannian manifolds

Izu Vaisman|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文研究广义黎曼流形上的Dirac结构，刻画了由Gualtieri的典范联络保持的Dirac结构，并识别出作为广义切丛结构像的Dirac结构。关键结果是此类结构具有辛李代数丛结构，且当与广义度量相容时，产生Kähler型几何，通过典范联络与可积性条件统一了广义复结构与黎曼结构。

ABSTRACT

We characterize the Dirac structures that are parallel with respect to Gualtieri's canonical connection of a generalized Riemannian metric. On the other hand, we discuss Dirac structures that are images of generalized tangent structures. These structures turn out to be Dirac structures that, if seen as Lie algebroids, have a symplectic structure. Particularly, if compatibility with a generalized Riemannian metric is required, the symplectic structure is of the Kaehler type.

研究动机与目标

• 刻画广义黎曼流形上相对于Gualtieri典范联络平行的Dirac结构。
• 研究作为广义切丛结构像出现的Dirac结构及其几何性质。
• 建立此类Dirac结构携带与广义黎曼度量相容的辛结构的条件。
• 证明与广义度量的相容性意味着Dirac结构上存在Kähler型辛结构。
• 通过典范联络与可积性条件，统一广义复、黎曼与辛几何。

提出的方法

• 在大切丛 T M 上定义典范联络 ∇，利用广义黎曼度量 G，确保其与中性度量 g 和 G-度量条件相容。
• 通过张量场 F_E ∈ Iso(TM) 表示Dirac结构 E，从而在 ∇ 下推导其可积性与平行性条件。
• 利用广义切丛结构 τ 定义映射 τ: E → TM，通过 τ 将 E 上的辛形式 ω_E 传递到 TM。
• 证明在 E 上诱导的联络 ∇′ 同时保持辛形式 ω_E 与度量 G|_E，从而在 E 上成为Levi-Civita联络。
• 应用Gualtieri挠率公式，推导广义2-幂零结构 τ 的可积性必要充分条件，将其与挠率分量的消失联系起来。
• 证明：若一个 G-相容、与 ∇ 交换且可积的结构 τ 成立，则 E-联络为无挠且保持复结构，从而产生Kähler型几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义黎曼流形上，哪些Dirac结构被Gualtieri的典范联络保持？
• RQ2 当一个Dirac结构是广义切丛结构的像时，会生成何种几何结构？
• RQ3 在何种条件下，Dirac结构上的辛形式会诱导出Kähler型结构？
• RQ4 典范联络在此背景下如何与广义复结构及para-Hermitian结构相互作用？
• RQ5 Gualtieri挠率在刻画广义2-幂零结构可积性方面起什么作用？

主要发现

• 被典范联络 ∇ 保持的Dirac结构，其特征为关联张量场 F_E 与联络可交换，并通过Courant括号实现可积性。
• 作为广义切丛结构像出现的Dirac结构，在Courant括号下具有辛李代数丛结构，因此在李代数丛意义下为辛结构。
• 当此类辛Dirac结构与广义黎曼度量 G 相容时，其辛形式为Kähler型，意味着与复结构及度量相容。
• 诱导的 E-联络即为 E 上的Levi-Civita联络，即无挠且同时保持度量 G|_E 与 E 上的复结构 λ。
• 存在一个与可积广义2-幂零结构 τ 交换的大联络 ∇，当且仅当 ∇ 保持 E 并在 E 上诱导出保持 ω_E 的 ∇′，且其挠率在 E⊥_g 上与非 E 上满足特定消失条件。
• τ 的可积性等价于对所有 X,Y,Z ∈ E⊥_g，Gualtieri挠率分量 T∇(X,Y,Z) 消失，且对不属于 E⊥_g 的变量满足循环和条件。