[论文解读] Lectures on Generalized Complex Geometry and Supersymmetry

Maxim Zabzine|arXiv (Cornell University)|May 15, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用 47

一句话总结

本文引入广义复几何作为二维场论中辛结构与复结构的统一框架，尤其在 $N=(2,2)$ sigma 模型和弦理论的背景下。它确立了量子 $N=(2,2)$ sigma 模型要求目标空间为（扭曲的）广义卡拉比-丘流形，且拓扑场论中的算符-态对应关系通过李代数丛上同调与 Dolbeault 上同调之间的同构实现。

ABSTRACT

These are the lecture notes from the 26th Winter School "Geometry and Physics", Czech Republic, Srni, January 14 - 21, 2006. These lectures are an introduction into the realm of generalized geometry based on the tangent plus the cotangent bundle. In particular we discuss the relation of this geometry to physics, namely to two-dimensional field theories. We explain in detail the relation between generalized complex geometry and supersymmetry. We briefly review the generalized Kahler and generalized Calabi-Yau manifolds and explain their appearance in physics.

研究动机与目标

• 引入广义复几何作为使用丛 $TM \oplus T^*M$ 统一复结构与辛结构的方法。
• 建立广义复结构与二维场论中超对称性的联系。
• 展示广义凯勒流形与广义卡拉比-丘流形如何在 $N=(2,2)$ sigma 模型的世界面描述中出现。
• 表明拓扑场论中的算符-态对应关系源于（扭曲的）广义卡拉比-丘流形上李代数丛上同调与 Dolbeault 上同调之间的同构。

提出的方法

• 本文使用弦相空间 $T^*\mathcal{L}M$ 上的哈密顿形式，从世界面理论推导出广义几何结构。
• 引入 $TM \oplus T^*M$ 上的 Courant 李括号作为广义复几何基础几何结构。
• 广义复结构 $\mathcal{J}$ 定义为 $TM \oplus T^*M$ 上满足 $\mathcal{J}^2 = -1$ 且通过 Courant 括号实现可积性的自同态。
• BRST 算符 $\mathbf{q}$ 通过广义复结构构造，作用于 Fock 空间 $\Omega(M)$，采用纯旋量实现。
• 该方法涉及从 $ (\lambda^\mu, \rho_\mu) $ 到适应 $ \mathcal{J} $ 的 $ \pm i $-特征丛的基变换 $ (\xi^A, \bar{\xi}_A) $，从而得到上同调描述。
• 关键方程 $ \mathbf{q} \sim p_\mu \rho^{\mu A} \xi_A + f^{AB}_C \xi_A \xi_B \bar{\xi}^C $ 编码了 BRST 作用，并诱导出李代数丛上同调 $ H(d_L) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义复几何如何统一二维场论中的复结构与辛结构？
• RQ2 广义复结构在 $N=(2,2)$ sigma 模型哈密顿形式中扮演什么角色？
• RQ3 弦相空间上的 BRST 算符 $\mathbf{q}$ 如何与广义几何及上同调相关联？
• RQ4 量子 $N=(2,2)$ sigma 模型的算符-态对应关系对目标流形有何要求？
• RQ5 在拓扑场论与广义卡拉比-丘流形的背景下，同构 $ H(d_L) \sim H(\bar{\partial}) $ 的意义是什么？

主要发现

• 量子 $N=(2,2)$ sigma 模型要求目标流形 $M$ 为（扭曲的）广义卡拉比-丘流形，这是由算符-态对应关系确立的。
• 对于（扭曲的）弱广义卡拉比-丘流形，建立了李代数丛上同调 $ H(d_L) $ 与 Dolbeault 上同调 $ H(\bar{\partial}) $ 之间的同构。
• 当以 $ (\xi^A, \bar{\xi}_A) $ 基表示时，BRST 算符 $\mathbf{q}$ 作用于 $ \Omega(M) $ 并诱导出上同调 $ H(\bar{\partial}) $，从而与希尔伯特态空间相联系。
• 定义在 $TM \oplus T^*M$ 上的广义复结构 $\mathcal{J}$ 提供了复几何与辛几何的统一描述，其可积性通过 Courant 括号定义。
• $N=(2,2)$ sigma 模型的基态对应于 $ H(d_L) $ 的元素，算符-态对应关系通过同构 $ H(d_L) \sim H(\bar{\partial}) $ 实现。
• 分析表明，为使量子 $N=(2,2)$ 模型保持一致，广义复结构 $ \mathcal{J}_1 $ 与 $ \mathcal{J}_2 $ 必须均定义为（扭曲的）广义卡拉比-丘结构。