[论文解读] Direct Sum Theorem for Bounded Round Quantum Communication Complexity

Dave Touchette|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 38被引用 4

一句话总结

该论文通过采用完全量子化的信息成本与复杂度定义，建立了有界轮次纠缠辅助量子通信复杂度的直接和定理。证明了量子信息复杂度满足直接和性质，从而可将量子协议压缩至其信息成本，仅受误差和轮次依赖因子影响，因此验证了量子信息复杂度作为经典信息复杂度的正确量子类比。

ABSTRACT

We prove a direct sum theorem for bounded round entanglement-assisted quantum communication complexity. To do so, we use the fully quantum definition for information cost and complexity that we recently introduced, and use both the fact that information is a lower bound on the communication, and the fact that a direct sum property holds for quantum information complexity. We then give a protocol for compressing a single copy of a protocol down to its quantum information cost, up to terms depending on the number of rounds and the allowed increase in error. Two important tools to derive this protocol are a smooth conditional min-entropy bound for a one-shot quantum state redistribution protocol, and the quantum substate theorem of Jain, Radhakrishnan and Sen (FOCS'02) to transform this bound into a von Neumann conditional entropy bound. This result further establishes the newly introduced notions of quantum information cost and complexity as the correct quantum generalisations of the classical ones in the standard communication complexity setting. Finding such a quantum generalization of information complexity was one of the open problem recently raised by Braverman (STOC'12).

研究动机与目标

• 为解决最近由 Braverman（STOC'12）提出的开放问题——寻找经典信息复杂度的量子推广。
• 建立有界轮次纠缠辅助量子通信复杂度的直接和定理。
• 证明量子信息复杂度下界为通信复杂度，并满足直接和性质。
• 设计一种协议，将单个量子协议压缩至其量子信息成本，仅受误差和轮次依赖项影响。
• 验证新引入的量子信息成本与复杂度作为标准通信复杂度中经典概念的正确量子推广。

提出的方法

• 采用与量子通信设置一致的完全量子化信息成本与复杂度定义。
• 利用量子信息复杂度在有界轮次协议中下界通信成本的事实。
• 应用单次量子态重分配的平滑条件最小熵界来分析协议压缩。
• 应用量子子态定理（Jain et al., FOCS'02）将最小熵界转换为冯诺依曼熵界。
• 构造一种协议，将单个量子通信协议压缩至其量子信息成本，包含误差与轮次依赖项。
• 利用量子信息复杂度的直接和性质证明主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界轮次纠缠辅助量子通信中，量子信息复杂度是否满足直接和性质？
• RQ2 单个量子协议能否被压缩至其量子信息成本，仅受误差和轮次依赖因子影响？
• RQ3 信息成本与复杂度的完全量子化定义是否为经典信息复杂度的合理量子推广？
• RQ4 平滑条件最小熵与量子子态定理如何共同用于界定量子协议中的通信成本？
• RQ5 在有界轮次设置下，量子信息复杂度与通信复杂度之间存在何种关系？

主要发现

• 有界轮次纠缠辅助量子通信复杂度中存在直接和定理，建立了信息与通信成本之间的基本联系。
• 量子信息复杂度下界为有界轮次协议的通信成本，将经典关系推广至量子设置。
• 构造了一种协议，可将单个量子协议压缩至其量子信息成本，仅含误差与轮次依赖的开销。
• 单次量子态重分配的平滑条件最小熵界是实现压缩结果的关键技术工具。
• 量子子态定理用于将最小熵界转换为冯诺依曼熵界，促进了信息成本的分析。
• 结果验证了新引入的量子信息成本与复杂度作为标准通信复杂度中经典信息复杂度的正确量子推广。