[论文解读] Dirichlet problem for supercritical nonlocal operators

Xicheng Zhang, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用 10

一句话总结

本文建立了在有界 $C^2$ 域中，对于分数阶阶数 $α \in (0,1)$ 的超临界非局部算子带漂移的狄利克雷问题的经典解的存在性与唯一性，此时漂移项占主导地位。通过带漂移的 Lévy 过程的首达时首次建立了解的随机表示，并根据漂移法向分量的符号对边界行为进行分类。

ABSTRACT

Let $D$ be a bounded $C^2$-domain. Consider the following Dirichlet initial-boundary problem of nonlocal operators with a drift: $$ \partial_t u={\mathscr L}^{(α)}_κu+b\cdot abla u+f\ \mathrm{in}\ \mathbb R_+ imes D,\ \ u|_{\mathbb R_+ imes D^c}=0,\ u(0,\cdot)|_{D}=φ, $$ where $α\in(0,2)$ and $\mathscr L^{(α)}_κ$ is an $α$-stable-like nonlocal operator with kernel function $κ(x,z)$ bounded from above and below by positive constants, and $b:\mathbb R^d o\mathbb R^d$ is a bounded $C^β$-function with $α+β>1$, $f: \mathbb R_+ imes D o\mathbb R$ is a $C^γ$-function in $D$ uniformly in $t$ with $γ\in((1-α)\vee 0,β]$, $φ\in C^{α+γ}(D)$. Under some Hölder assumptions on $κ$, we show the existence of a unique classical solution $u\in L^\infty_{loc}(\mathbb R_+; C^{α+γ}_{loc}(D)) imes C(\mathbb R_+; C_b(D))$ to the above problem. Moreover, we establish the following probabilistic representation for $u$ $$ u(t,x)=\mathbb E_x \Big(φ(X_{t}){\bf 1}_{τ_{D}>t}\Big)+\mathbb E_x\left(\int^{t\wedgeτ_{D}}_0f(t-s,X_s){ m d} s ight),\ t\geq 0,\ x\in D, $$ where $((X_t)_{t\geq 0},\mathbb P_x; x\in\mathbb R^d)$ is the Markov process associated with the operator $\mathscr L^{(α)}_κ+b\cdot abla$, and $τ_D$ is the first exit time of $X$ from $D$. In the sub and critical case $α\in[1,2)$, the kernel function $κ$ can be rough in $z$. In the supercritical case $α\in(0,1)$, we classify the boundary points according to the sign of $b(z)\cdot\vec{n}(z)$, where $z\in\partial D$ and $\vec{n}(z)$ is the unit outward normal vector. Finally, we provide an example and simulate it by Monte-Carlo method to show our results.

研究动机与目标

• 建立在有界 $C^2$ 域中，对于超临界非局部算子带漂移的狄利克雷问题的经典解的存在性与唯一性。
• 通过基于漂移法向分量的分类，分析在超临界情形（$\alpha \in (0,1)$）下解的边界行为。
• 利用 Lévy 过程带漂移的首次退出时间，推导解的随机表示。
• 将 Schauder 型估计推广至带漂移的非局部抛物方程，在亚临界与超临界情形下均适用。
• 通过一维示例中不同漂移场的蒙特卡洛模拟，验证理论结果。

提出的方法

• 在加权 Hölder 空间中使用 Schauder 估计，以控制带漂移的非局部抛物方程的解的正则性。
• 应用随机表示：$ u(t,x) = \mathbb{E}_x[\varphi(X_t) \mathbf{1}_{\tau_D > t}] + \mathbb{E}_x[\int_0^{t \wedge \tau_D} f(t-s,X_s) ds] $，其中 $X_t$ 是与 $\mathscr{L}^{(\alpha)}_{\kappa} + b\cdot\nabla$ 关联的马尔可夫过程。
• 采用带截断函数的光滑化技术，逼近强迫项 $f$，并在 Hölder 范数下获得收敛性。
• 在加权 Hölder 空间中引入最大值原理，以在超临界情形下控制边界附近的解。
• 利用分数阶拉普拉斯算子的标度性质，解释漂移占主导的超临界情形的动机。
• 在 R 中进行蒙特卡洛模拟，以数值验证关于边界正则性与解衰减的理论发现。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\alpha \in (0,1)$ 时，漂移项如何影响非局部狄利克雷问题解的正则性与边界行为？
• RQ2 能否为超临界非局部狄利克雷问题带漂移的解建立严格的随机表示？
• RQ3 漂移向量场 $b$ 与核 $\kappa$ 需满足何种条件，可保证经典解的存在性与唯一性？
• RQ4 边界点处 $b(z) \cdot \vec{n}(z)$ 的符号如何影响解在边界处的连续性？
• RQ5 数值模拟在多大程度上验证了解衰减与边界行为的理论预测？

主要发现

• 在 $\kappa$、$b$、$f$ 与 $\varphi$ 具有 Hölder 正则性的假设下，狄利克雷问题存在唯一的经典解 $u \in L^\infty_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; C^{\alpha+\gamma}_{\text{loc}}(D)) \cap C(\mathbb{R}_+; C_b(D))$。
• 解具有涉及 Lévy 过程首次退出时间 $\tau_D$ 的随机表示，证实了随机过程与非局部 PDE 之间的联系。
• 在超临界情形（$\alpha \in (0,1)$）下，若在边界点 $z \in \partial D$ 处有 $b(z) \cdot \vec{n}(z) > 0$，则解在边界处连续；若 $b(z) \cdot \vec{n}(z) < 0$，则解不连续。
• 对于 $\alpha \in [1,2)$，由于分数阶拉普拉斯算子的主导作用，解在边界处始终连续，与漂移方向无关。
• 蒙特卡洛模拟结果表明，由于 $\Delta^{\alpha/2}$ 的耗散性，解随时间衰减至零，且边界不连续性与理论预测一致。
• 解在时间上保持有界且 Hölder 连续，取值于 $C_b(D)$，其时间导数通过加权 Hölder 范数中的 Schauder 估计得到控制。