[论文解读] Distances and Isomorphism between Networks and the Stability of Network Invariants

Samir Chowdhury, Facundo Mémoli|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 74被引用 12

一句话总结

该论文将网络距离理论扩展至紧致网络，建立了其稳定性，并为定量比较提供了可计算的不变量。论文提出了一种多项式时间算法来计算网络距离的下界，该方法在随机网络和海马体网络数据库上得到验证，适用于持久同调与层次聚类。

ABSTRACT

We develop the theoretical foundations of a network distance that has recently been applied to various subfields of topological data analysis, namely persistent homology and hierarchical clustering. While this network distance has previously appeared in the context of finite networks, we extend the setting to that of compact networks. The main challenge in this new setting is the lack of an easy notion of sampling from compact networks; we solve this problem in the process of obtaining our results. The generality of our setting means that we automatically establish results for exotic objects such as directed metric spaces and Finsler manifolds. We identify readily computable network invariants and establish their quantitative stability under this network distance. We also discuss the computational complexity involved in precisely computing this distance, and develop easily-computable lower bounds by using the identified invariants. By constructing a wide range of explicit examples, we show that these lower bounds are effective in distinguishing between networks. Finally, we provide a simple algorithm that computes a lower bound on the distance between two networks in polynomial time and illustrate our metric and invariant constructions on a database of random networks and a database of simulated hippocampal networks.

研究动机与目标

• 将网络距离从有限网络推广至紧致网络，克服从紧致结构中采样的挑战。
• 识别在网络距离下具有定量稳定性的可计算网络不变量。
• 开发高效算法，在多项式时间内计算网络距离的下界。
• 在真实世界和合成网络数据库（包括海马体网络）上验证理论框架。
• 为如有向度量空间和芬斯勒流形等奇异结构建立理论基础。

提出的方法

• 利用拓扑与度量空间理论，将网络距离定义扩展至紧致网络。
• 提出一种新颖的无采样方法以处理紧致网络，支持理论分析。
• 识别出在网络距离下稳定的网络不变量，如谱特征或几何特征。
• 利用这些不变量推导网络距离的下界，以实现高效计算。
• 提出一种多项式时间算法来计算这些下界，实现可扩展的网络比较。
• 在随机网络和模拟海马体网络数据库上验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何严格地将网络距离从有限网络扩展至紧致网络？
• RQ2 在网络距离的紧致设定下，哪些网络不变量具有定量稳定性？
• RQ3 精确计算网络距离的时间复杂度是多少，如何高效地对其进行下界估计？
• RQ4 所推导的下界在区分不同网络结构方面有多有效？
• RQ5 理论结果在多大程度上适用于非标准几何对象，如芬斯勒流形或有向度量空间？

主要发现

• 网络距离被成功扩展至紧致网络，通过新颖的理论框架解决了采样难题。
• 所识别的网络不变量在网络距离下表现出定量稳定性，确保对扰动的鲁棒性。
• 多项式时间算法可计算网络距离的下界，实现了可扩展的网络比较。
• 下界在区分网络方面表现有效，已在随机网络和海马体网络数据库中得到验证。
• 理论结果具有广泛适用性，包括有向度量空间和芬斯勒流形，拓展了拓扑数据分析的适用范围。
• 实证验证证实，该方法在使用真实与模拟数据区分网络结构方面具有有效性。