[论文解读] Distinguished representations for SL(n)

U. K. Anandavardhanan, Dipendra Prasad|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文为局部或有限域上的二次扩张 $E/F$ 下，$π$ 为 $π$ 的不可约适定通用表示时，$π$ 上 $π$-不变线性泛函空间的维数给出了一个精确公式。该维数等于从 $π$ 到 $π$ 的基变换映射的纤维大小，从而证实了普拉萨德对 $G = π$ 的猜想。该结果推广了此前对 $n=2$ 和奇 $n$ 的工作，并引入了惠特aker模型条件作为区分性的关键判据。

ABSTRACT

For $E/F$ a quadratic extension of local fields, and $π$ an irreducible admissible generic representation of $SL_n(E)$, we calculate the dimension of $Hom_{SL_n(F)}[π,C]$ and relate it to fibers of the base change map corresponding to base change of representations of $SU_n(F)$ to $SL_n(E)$ as suggested in a recent work of the second author. We also deal with finite fields.

研究动机与目标

• 计算不可约适定通用表示 $π$ 的 $π$ 上 $π$-不变线性泛函空间的维数 $π$，其中 $π$ 是 $π$ 的不可约适定通用表示，$E/F$ 是局部或有限域的二次扩张。
• 将该维数与从 $π$ 到 $π$ 的基变换映射的纤维联系起来，如 [Pra16] 所建议。
• 将此前关于 $n=2$ 和奇 $n$ 的区分性结果推广至一般情形，特别是偶 $n$ 的情形。
• 通过 $N(E)/N(F)$ 上的惠特aker模型，建立 $π$-区分表示的刻画。

提出的方法

• 利用基变换映射 $P\Phi: H^1(W_F', \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})[\tau]) \to H^1(W_E', \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}))$，将 $π$ 的表示与 $π$ 的表示联系起来。
• 应用马特林格关于 $π$-区分性在 $π$ 的通用表示上的结果，以分析 $π$-不变泛函。
• 依赖于 $π$ 在 $π$ 的 $L$-包上作用传递的事实，确保 $π$-共轭类上 $π$-不变泛函空间的维数保持不变。
• 通过特征扭转变换，将 $π$-参数与 $π$-参数相联系，并通过基变换映射 $Φ$ 将 $π$-参数与 $π$-参数联系起来。
• 使用朗兰兹参数的强等价与弱等价概念，以计算基变换映射的纤维大小。
• 证明 $π$-区分的通用表示必须在 $N(E)/N(F)$ 上具有非退化特征的惠特aker模型，利用 [AM17] 中关于温带和单位表示的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $π$ 的不可约适定通用表示 $π$，$π$-不变线性泛函空间的精确维数是多少？
• RQ2 该维数如何与从 $π$ 到 $π$ 的基变换映射的纤维相关？
• RQ3 在何种条件下，$π$ 的通用表示 $π$ 允许非零的 $π$-不变线性泛函？
• RQ4 在 $N(E)/N(F)$ 上的惠特aker模型条件是否为 $π$-区分性在通用表示上的必要且充分条件？

主要发现

• $π$-不变线性泛函空间的维数等于基变换映射 $P\Phi$ 在 $π$ 的朗兰兹参数 $\rho_\pi$ 上的纤维大小，即 $\dim_{\mathbb{C}} \mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}] = |P\Phi^{-1}(\rho_\pi)|$。
• $π$ 的通用表示 $π$ 是 $π$-区分的，当且仅当其朗兰兹参数 $\rho_\pi$ 属于基变换映射 $P\Phi$ 的像。
• $π$-区分性等价于 $π$ 在 $N(E)/N(F)$ 上具有非退化特征的惠特aker模型，其中 $N$ 是某 Borel 子群的幂零根。
• 当 $n$ 为偶数时，对称空间 $({\rm SL}_n(E), {\rm SL}_n(F))$ 不是 Gelfand 对，且重数可能超过一，与奇 $n$ 情形相反。
• 该结果证实了普拉萨德 [Pra16] 的一般猜想，适用于 $G = \mathrm{SL}_n$，将不变泛函空间的维数与基变换映射的纤维联系起来。
• 该公式在 $p$-进域和有限域上均一致成立，推广了此前仅限于 $n=2$ 或奇 $n$ 的结果。