[论文解读] Dividing a Graphical Cake

Xiaohui Bei, Warut Suksompong|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文提出了一种广义的蛋糕分割模型，其中蛋糕被表示为无向图，从而实现对道路或电缆等网络化资源的公平分配。研究建立了在连通性约束下可实现的公平比例的最佳近似值的紧致界，表明对于 n 个参与者，每个参与者可保证至少获得 1/(2n−1) 的效用，且最优保证值取决于图的结构——具体而言，是否为近乎无桥图，最优保证值为 1/3 或 1/2。

ABSTRACT

We consider the classical cake-cutting problem where we wish to fairly divide a heterogeneous resource, often modeled as a cake, among interested agents. Work on the subject typically assumes that the cake is represented by an interval. In this paper, we introduce a generalized setting where the cake can be in the form of the set of edges of an undirected graph. This allows us to model the division of road or cable networks. Unlike in the canonical setting, common fairness criteria such as proportionality cannot always be satisfied in our setting if each agent must receive a connected subgraph. We determine the optimal approximation of proportionality that can be obtained for any number of agents with arbitrary valuations, and exhibit tight guarantees for each graph in the case of two agents. In addition, when more than one connected piece per agent is allowed, we establish the best egalitarian welfare guarantee for each total number of connected pieces. We also study a number of variants and extensions, including when approximate equitability is considered, or when the item to be divided is undesirable (also known as chore division).

研究动机与目标

• 将经典的蛋糕分割公平性扩展至图结构资源（如道路或电缆网络），其中分配部分的连通性至关重要。
• 确定当每个参与者必须获得图蛋糕的连通子图时，可实现的比例公平性的最佳近似值。
• 基于图的性质（如近乎无桥）对双参与者情形下的最优公平保障进行表征。
• 探索向任务分配和多段分配的扩展，以提升平等福利保障。
• 在图模型中建立近似均等性与非 envy 性的紧致界。

提出的方法

• 将蛋糕建模为无向图的边集，参与者对边具有可加且归一化的估值。
• 应用一种适用于图结构的广义 Dubins-Spanier 风格移动刀具程序，确保分配结果为连通。
• 利用图论性质（如桥与环结构）对图进行分类，并推导公平性界。
• 采用归纳论证与成本划分技术，证明任务分配中平等福利的保障。
• 基于图拓扑提出一种新的可实现效用对 (α, β) 的表征方法。
• 开发用于计算近似均等分配的算法，并利用图的结构不变量分析其性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 当每个参与者必须获得图蛋糕的连通子图时，可保证的最佳比例公平性近似值是多少？
• RQ2 对于双参与者，何种图论性质决定了可实现比例分配（1/2 效用）的条件，以及在何种情况下 1/3 是最佳可能值？
• RQ3 允许每个参与者获得多个连通段时，如何影响图蛋糕分割中的平等福利保障？
• RQ4 能否在图蛋糕分割模型中实现近似均等性？此类分配的紧致界是什么？
• RQ5 在图模型中，哪些公平性保障可扩展至任务分配，特别是关于平等成本最小化的保障？

主要发现

• 对于任意 n 个参与者和任意图，均存在一种连通分配方式，使得每个参与者至少获得总价值的 1/(2n−1)，且该界是紧致的。
• 对于双参与者，若图近乎无桥（通过添加一条边可变为无桥图），则最优保障为 1/2；否则为 1/3。
• 在双参与者情形下，存在一种连通分配，使得一个参与者至少获得 1/2，另一个至少获得 1/3 的价值，且所有此类效用对 (α, β) 均被完整表征。
• 当允许每个参与者拥有多个连通段时，最佳平等福利保障为 2/k，其中 k 为所有参与者获得的连通段总数。
• 在任务分配中，对于 n 个参与者，存在一种连通分配，其平等成本至多为 2/(n+1)，且该界被推测为紧致。
• 本文提供了图模型中近似均等分配的构造性算法，其性能与图的结构及参与者估值密切相关。