[论文解读] Division Algebras, Supersymmetry and Higher Gauge Theory

John Huerta|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 49被引用 12

一句话总结

本文通过从洛伦兹代数的旋量恒等式出发，利用与赋 norm 的除环相关的旋量恒等式，在维度 3, 4, 6, 10（通过 3-上循环）和 4, 5, 7, 11（通过 4-上循环）中构造了洛伦兹超代数的李 n-超代数，从而建立了除环、超对称性和高阶规范理论之间的深层联系。本文证明了可积李 2-超群和李 3-超群的存在性，这些群扩展了洛伦兹超群，为这些维度中超弦与 2-膜的高阶对称性提供了几何框架。

ABSTRACT

From the four normed division algebras--the real numbers, complex numbers, quaternions and octonions, of dimension k=1, 2, 4 and 8, respectively--a systematic procedure gives a 3-cocycle on the Poincare superalgebra in dimensions k+2=3, 4, 6 and 10, and a 4-cocycle on the Poincare superalgebra in dimensions k+3=4, 5, 7 and 11. The existence of these cocycles follow from spinor identities that hold only in these dimensions, and which are closely related to the existence of the superstring in dimensions k+2, and the super-2-brane in dimensions k+3. In general, an (n+1)-cocycle on a Lie superalgebra yields a `Lie n-superalgebra': that is, roughly, an n-term chain complex equipped with a bracket satisfying the axioms of a Lie superalgebra up to chain homotopy. We thus obtain Lie 2-superalgebras extending the Poincare superalgebra in dimensions k+2, and Lie 3-superalgebras extending the Poincare superalgebra in dimensions k+3. We present evidence, based on the work of Sati, Schreiber and Stasheff, that these Lie n-superalgebras describe infinitesimal `higher symmetries' of the superstring and 2-brane. Generically, integrating a Lie n-superalgebra to a Lie n-supergroup yields a `Lie n-supergroup' that is hugely infinite-dimensional. However, when the Lie n-superalgebra is obtained from an (n+1)-cocycle on a nilpotent Lie superalgebra, there is a geometric procedure to integrate the cocycle to one on the corresponding nilpotent Lie supergroup. In general, a smooth (n+1)-cocycle on a supergroup yields a `Lie n-supergroup': that is, a weak n-group internal to supermanifolds. Using our geometric procedure to integrate the 3-cocycle in dimensions k+2, we obtain a Lie 2-supergroup extending the Poincare supergroup in those dimensions, and similarly integrating the 4-cocycle in dimensions k+3, we obtain a Lie 3-supergroup extending the Poincare supergroup in those dimensions.

研究动机与目标

• 建立与赋 norm 除环相关的时空维度中高阶规范对称性的系统性构造方法。
• 证明洛伦兹超代数上 3-和 4-上循环的存在性源于维度 3, 4, 6, 10 和 4, 5, 7, 11 中特有的旋量恒等式。
• 从这些上循环构造李 n-超代数，以建模超弦与 2-膜的无穷小高阶对称性。
• 为幂零李 n-超代数开发几何积分程序，将其提升为李 n-超群。
• 证明积分后的上循环在洛伦兹群作用下保持不变，从而可扩展至完整的洛伦兹超群。

提出的方法

• 利用四个赋 norm 的除环——实数、复数、四元数和八元数，其维数分别为 k = 1, 2, 4, 8，以生成时空维数 k+2 和 k+3。
• 在这些维数中应用旋量恒等式，构造洛伦兹超代数上的 (n+1)-上循环，从而得到李 n-超代数。
• 使用李超代数上同调，将李 n-超代数定义为满足同伦李超代数公理的链复形与括号结构。
• 引入一种几何积分程序，用于幂零李超代数，通过单纯积分将上循环从李超代数提升至李超群。
• 使用幂零李超群上标准的左不变单纯形概念，并证明积分后的上循环在群作用下保持 G-不变性。
• 通过洛伦兹群的半直积结构，将积分后的上循环从超平移群扩展至完整的洛伦兹超群。

实验结果

研究问题

• RQ1 除环如何导致超弦与 2-膜存在的时空维度？
• RQ2 维度 3, 4, 6, 10 中的 3-上循环与维度 4, 5, 7, 11 中的 4-上循环的代数根源是什么？
• RQ3 从这些上循环构造的李 n-超代数能否被积分成李 n-超群？
• RQ4 如何建立积分后上循环在洛伦兹群作用下的不变性？
• RQ5 这些高阶对称性的几何意义对超重力理论与 M-理论有何影响？

主要发现

• 在维度 3, 4, 6, 10 中，洛伦兹超代数上的 3-上循环源于维数为 k = 1, 2, 4, 8 的赋 norm 除环相关的旋量恒等式。
• 在维度 4, 5, 7, 11 中，4-上循环同样源于相同的代数结构，将其与超 2-膜的存在性联系起来。
• 从 3-上循环构造出李 2-超代数，用于建模维度 k+2 中超弦的无穷小对称性。
• 从 4-上循环构造出李 3-超代数，用于建模维度 k+3 中 2-膜的无穷小对称性。
• 在超平移群 T 上的 3-上循环 ∫α 关于 Spin(k+1,1) 的作用是不变的，因此可扩展至完整的洛伦兹超群 SISO(k+1,1)。
• 在 T 上的 4-上循环 ∫β 关于 Spin(k+2,1) 的作用是不变的，从而可扩展至 SISO(k+2,1)，最终实现超弦李 2-超群与 2-膜李 3-超群的构造。