[论文解读] Double logarithmic stability estimate in the identification of a scalar potential by a partial elliptic Dirichlet-to-Neumann map

Mourad Choulli, Yavar Kian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了从部分 Dirichlet-to-Neumann 映射反演薛定谔方程中标量势的双对数稳定性估计。利用复几何光学解和 Alessandrini 恒等式，作者在 Sobolev 和 $L^\infty$ 正则性约束下，推导出 $L^2$ 和 $H^{-1}$ 范数下的稳定性界，表明势的差异受 DN 映射范数的双对数项控制。

ABSTRACT

We examine the stability issue in the inverse problem of determining a scalar potential appearing in the stationary Schr{ö}dinger equation in a bounded domain, from a partial elliptic Dirichlet-to-Neumann map. Namely, the Dirichlet data is imposed on the shadowed face of the boundary of the domain and the Neumann data is measured on its illuminated face. We establish a log log stability estimate for the L2-norm (resp. the H minus 1-norm) of bounded (resp. L2) potentials whose difference is lying in any Sobolev space of order positive order.

研究动机与目标

• 建立从薛定谔方程中部分边界测量反演标量势的稳定性估计。
• 量化势重构误差对部分 Dirichlet-to-Neumann 映射测量误差的依赖关系。
• 在正则性约束下，将稳定性结果扩展至势差的 $L^2$ 和 $H^{-1}$ 范数。
• 为部分数据情形下反问题的唯一性与稳定性提供理论基础，并应用于电导率成像。

提出的方法

• 作者使用在边界一部分上消失的复几何光学（CGO）解来探测势。
• 他们应用 Alessandrini 恒等式，通过积分恒等式将 DN 映射的差异与势的差异联系起来。
• 在精心选择的频率集合中推导傅里叶系数的界，以控制解的行为。
• 通过 Sobolev 空间中的能量估计和插值技术建立稳定性不等式。
• 该方法依赖于 $H_{\Delta}(\Omega)$ 中的对偶解，以及 DN 映射在 $H^{-1/2}(\Gamma)$ 和 $H^{1/2}(G)$ 中的有界性。
• 通过变量变换和 DN 映射的变换，将证明扩展至电导率问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为从部分 Dirichlet-to-Neumann 数据反演标量势的反问题建立双对数稳定性估计？
• RQ2 势重构的稳定性如何依赖于势的正则性与测量误差？
• RQ3 在仅获得部分边界数据时，可实现的最优稳定性速率是什么？
• RQ4 稳定性结果能否扩展至势的 $H^{-1}$ 范数和 $L^\infty$ 正则性？
• RQ5 在部分测量下，稳定性估计与电导率反问题有何关联？

主要发现

• 本文建立了双对数稳定性估计：$\|q_1 - q_2\|_{L^2(\Omega)} \leq c\left(\|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\| + \left|\ln \tilde{c} \left|\ln \|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\|\right|\right|^{-t}\right)$ 对于 $t > 0$。
• 对于 $H^{-1}$ 范数，稳定性估计为 $\|q_1 - q_2\|_{H^{-1}(\Omega)} \leq c\left(\|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\| + \left|\ln \tilde{c} \left|\ln \|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\|\right|\right|^{-1}\right)$。
• 稳定性常数 $c$ 和 $\tilde{c}$ 仅依赖于正则性界 $\delta$ 和 Sobolev 指标 $t$。
• 该结果在条件 $q_1, q_2 \in \mathcal{Q} \cap \delta B_{L^\infty(\Omega)}$ 和 $(q_2 - q_1)\chi_\Omega \in \delta B_{H^t(\mathbb{R}^n)}$ 下成立。
• 在电导率问题中的应用给出了 $L^2$ 中电导率差异的类似双对数稳定性估计。
• 在电导率及其法向导数在边界和照明面分别一致的假设下，稳定性估计具有鲁棒性。