[论文解读] Stability estimates for the Calder\'on problem with partial data

David Dos Santos Ferreira, Pedro Caro+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在 n > 3 维下建立了部分数据 Calderón 问题的对数-对数型全局稳定性估计，扩展了先前的局部结果。通过在各向异性设置下使用复几何光学解，证明了从部分 Dirichlet-to-Neumann 数据可稳定重构 Schrödinger 方程中的势函数，将唯一性结果推广至全局稳定性框架。

ABSTRACT

This is a follow-up of a previous article where we proved local stability estimates for a potential in a Schrodinger equation on an open bounded set in dimension $n=3$ from the Dirichlet-to-Neumann map with partial data. The region under control was the penumbra delimited by a source of light outside of the convex hull of the open set. These local estimates provided stability of log-log type corresponding to the uniqueness results in Calderon's inverse problem with partial data proved by Kenig, Sjostrand and Uhlmann. In this article, we prove the corresponding global estimates in all dimensions higher than three. The estimates are based on the construction of solutions of the Schrodinger equation by complex geometrical optics developed in the anisotropic setting by Dos Santos Ferreira, Kenig, Salo and Uhlmann to solve the Calderon problem in certain admissible geometries.

研究动机与目标

• 将 n > 3 维下部分数据 Calderón 问题的局部稳定性估计扩展为全局估计。
• 为从部分 Dirichlet-to-Neumann 数据重构 Schrödinger 方程中势函数的反问题，建立对数-对数型的定量稳定性界。
• 通过先进的解构造方法，将 Kenig、Sjöstrand 和 Uhlmann 的先前唯一性结果推广至全局稳定性框架。
• 应用各向异性复几何光学方法，以处理高维下的部分数据情形。

提出的方法

• 基于 Dos Santos Ferreira、Kenig、Salo 和 Uhlmann 开发的方法，构建各向异性几何下 Schrödinger 方程的复几何光学解。
• 通过聚焦于边界子集上的 Dirichlet-to-Neumann 映射，将各向异性框架适配至处理部分数据问题。
• 利用 Carleman 估计和渐近分析，控制解及其在边界上的迹的行为。
• 通过比较对应于不同势函数的解，并将其差异与 Dirichlet-to-Neumann 映射的差异关联，推导出稳定性估计。
• 将稳定性框架从局部估计（在凸包外部的半影区域）扩展至 n > 3 维下整个区域的全局估计。
• 利用各向异性设置的结构，确保复几何光学解所需的可解性和衰减性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在 n > 3 维下，为部分数据 Calderón 问题建立对数-对数型的全局稳定性估计？
• RQ2 各向异性复几何光学方法如何实现将局部稳定性结果扩展至全局结果？
• RQ3 在高维下，势函数差异与部分 Dirichlet-to-Neumann 数据差异之间的定量边界是什么？
• RQ4 在部分数据设定下，稳定性框架在多大程度上可超越凸包和半影区域进行推广？
• RQ5 在各向异性设定下，为实现全局稳定性，几何上需要哪些结构性假设？

主要发现

• 在 n > 3 维下，为部分数据 Calderón 问题建立了对数-对数型的全局稳定性估计。
• 该稳定性结果扩展了先前局限于凸包外部半影区域的局部估计。
• 在各向异性设定下构造复几何光学解，使得能够推导出全局稳定性界。
• 该方法依赖于 Dos Santos Ferreira、Kenig、Salo 和 Uhlmann 开发的各向异性框架，以处理部分数据问题。
• 估计结果为高维下部分数据 Calderón 问题的唯一性结果提供了定量版本。
• 该工作将稳定性框架从局部区域推广至全局，提供了全局重构稳定性保证。