[论文解读] Drinfeld modular forms of arbitrary rank, Part III: Examples

Dirk Basson, Florian Breuer+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文構造並研究了任意秩的德林費爾德模形式的具體例子，重點關注艾森斯坦級數、係數形式與判別形式。證明了當 $ A = \mathbb{F}_q[t] $ 時，所有 $ \mathrm{GL}_r(A) $ 與 $ \mathrm{SL}_r(A) $ 的模形式均由係數形式與判別形式生成，並提供了各類水平與權重之模形式空間的精確維數公式。

ABSTRACT

This is the third part of a series of articles providing a foundation for the theory of Drinfeld modular forms of arbitrary rank. In the present article we construct and study some examples of Drinfeld modular forms. In particular we define Eisenstein series, as well as the action of Hecke operators upon them, coefficient forms and discriminant forms. In the special case A=F_q[t] we show that all modular forms for GL_r(Γ(t)) are generated by certain weight one Eisenstein series, and all modular forms for GL_r(A) and SL_r(A) are generated by certain coefficient forms and discriminant forms. We also compute the dimensions of the spaces of such modular forms.

研究动机与目标

• 構造並分析任意秩的德林費爾德模形式的顯式族，包括艾森斯坦級數、係數形式與判別形式。
• 確定在特殊情形 $ A = \mathbb{F}_q[t] $ 時，$ \mathrm{GL}_r(A) $ 與 $ \mathrm{SL}_r(A) $ 的模形式環的結構。
• 計算各種同餘子群（包括 $ \Gamma(t) $、$ \Gamma_1(t) $ 和 $ \mathrm{GL}_r(A) $）之模形式空間的維數。
• 建立 $ \mathrm{GL}_r(A) $ 的尖點形式由單一判別形式 $ \Delta_t^L $ 生成，並證明其在 Hecke 算子作用下的特徵形式性質。

提出的方法

• 構造同餘子群 $ \Gamma_{v+L} $ 的權 1 艾森斯坦級數 $ E_{1,v+L} $，並計算其在尖點處的零點階數。
• 定義係數形式與判別形式 $ \delta_t^L $ 為在陪集代表元上取艾森斯坦級數的乘積，並利用其零點性質。
• 應用 $ u $-展開技術，將秩 $ r $ 的模形式與秩 $ r-1 $ 的模形式關聯，實現遞歸分析。
• 利用 Hecke 算子在艾森斯坦級數上的作用，推導特徵形式性質與傅里葉係數的整數性。
• 應用 [PS14] 與 [Na00] 的結果，透過係數在 $ \{q-1, q^2-1, \dots, q^r-1\} $ 中的分拆函數，推導維數公式。
• 運用群論不變量與同餘子群理論，關聯 $ \Gamma(t) $、$ \Gamma_1(t) $ 與 $ \mathrm{GL}_r(A) $，並計算指數關係。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於 $ \mathrm{GL}_r(\mathbb{F}_q[t]) $ 與 $ \mathrm{SL}_r(\mathbb{F}_q[t]) $，模形式環的結構如何以生成元表示？
• RQ2 模形式空間在權 $ k $ 與水平 $ \Gamma(t) $、$ \Gamma_1(t) $、$ \mathrm{GL}_r(A) $ 下的維數如何依賴於 $ k $ 與 $ r $？
• RQ3 判別形式 $ \Delta_t^L $ 是否為所有 Hecke 算子的特徵形式？其在生成尖點形式空間中扮演何種角色？
• RQ4 模形式的 $ u $-展開與其係數之遞歸結構之間的精確關係為何？
• RQ5 $ \mathrm{GL}_r(A) $ 的模形式環是否為 Cohen-Macaulay 環？此性質是否可推廣至其他同餘子群？

主要发现

• 當 $ A = \mathbb{F}_q[t] $ 時，所有 $ \mathrm{GL}_r(A) $ 的模形式均由特定係數形式與判別形式 $ \Delta_t^L $ 生成；所有 $ \mathrm{GL}_r(\Gamma(t)) $ 的模形式均由權 1 艾森斯坦級數生成。
• 尖點形式空間 $ \mathcal{S}_k(\mathrm{GL}_r(A)) $ 在 $ k < q^r - 1 $ 時為零空間，當 $ k = q^r - 1 $ 時為一維，其基為 $ \Delta_t^L $。
• 空間 $ \mathcal{M}_k(\Gamma(t)) $ 的維數為 $ \sum_{i_1,\dots,i_{r-1} \in \{0,1\}} q^{\sum \nu \cdot i_\nu} \binom{k}{\sum i_\nu} $，此式計數加權分拆。
• 空間 $ \mathcal{M}_k(\mathrm{GL}_r(A)) $ 的維數等於 $ k $ 以 $ \{q-1, q^2-1, \dots, q^r-1\} $ 中的數為部分的分拆數，其漸近增長為 $ \frac{1}{\prod_{i=2}^r (q^i - 1)} \cdot \frac{k^{r-1}}{(r-1)!} $，當 $ q-1 \mid k $ 時成立。
• 空間 $ \mathcal{M}_k(\Gamma_1(t)) $ 的維數為 $ \binom{k-1}{r-1} $，對應於將 $ k $ 分拆為 $ r $ 個正整數的分拆數。
• $ \Delta_t^L $ 是所有與雙陪集 $ \mathrm{GL}_r(A) \delta \mathrm{GL}_r(A) $ 相關之 Hecke 算子的特徵形式，且生成 $ \mathcal{M}_*(\mathrm{GL}_r(A)) $ 中尖點形式的理想。