[论文解读] Dynamic Shortest Path and Transitive Closure Algorithms: A Survey

Daniel P. Martin|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 61被引用 3

一句话总结

本综述全面概述了完全动态和部分动态图的动态最短路径与传递闭包算法，涵盖基础方法与最先进方法，重点关注更新时间与查询时间之间的权衡。文中介绍了关键算法，包括基于Even-Shiloach与Roddity-Zwick的算法，并建立了与OMv和BMM猜想的条件性下界之间的联系。

ABSTRACT

Algorithms which compute properties over graphs have always been of interest in computer science, with some of the fundamental algorithms, such as Dijkstra's algorithm, dating back to the 50s. Since the 70s there as been interest in computing over graphs which are constantly changing, in a way which is more efficient than simple recomputing after each time the graph changes. In this paper we provide a survey of both the foundational, and the state of the art, algorithms which solve either shortest path or transitive closure problems in either fully or partially dynamic graphs. We balance this with the known conditional lowerbounds.

研究动机与目标

• 综述完全动态与部分动态图中动态最短路径与传递闭包的基础与最先进算法。
• 分析动态图算法中更新时间与查询时间之间的权衡，尤其关注完全动态与增量删除设置。
• 展示并比较不同图类型与约束条件下，动态连通性、最短路径与传递闭包问题的已知上界。
• 考察基于OMv与BMM猜想的条件性下界，并评估其对算法效率的影响。
• 识别开放问题，包括去随机化、确定性与随机化算法之间的分离，以及增量与删除设置中界限的收紧。

提出的方法

• 综述广泛的动态图算法，包括Even与Shiloach的增量删除连通性算法及其变体。
• 分析具有摊销与最坏情况时间复杂度的算法，特别关注具有(1+ε)-近似值的完全动态全源最短路径。
• 展示如Roddity-Zwick算法中参数t的权衡机制，其中更新时间为O(mn/t)，查询时间为O(t)。
• 根据动态模型（增量、删除、完全动态）、图类型（有向/无向）以及权重约束（正整数、实数）对算法进行分类。
• 利用Online Matrix Vector（OMv）与Boolean Matrix Multiplication（BMM）猜想的条件性下界，评估现有算法的最优性。
• 在不同问题变体（单源、s-t、全源）之间比较算法性能，包括是否采用近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 目前最高效的动态全源最短路径与传递闭包算法是什么？它们在更新时间与查询时间之间实现了怎样的权衡？
• RQ2 基于OMv与BMM猜想的条件性下界如何限制动态图算法的性能？
• RQ3 增量与删除动态算法之间的性能差距能否从理论上解释或缩小？
• RQ4 去随机化对动态图算法有何影响，特别是在确定性与随机化边界方面？
• RQ5 现有动态算法在多大程度上可被改进以匹配或逼近条件性下界？

主要发现

• Even-Shiloach的增量删除连通性算法实现O(mn)总更新时间与O(1)查询时间，成为后续动态算法的基础方法。
• Roddity与Zwick的完全动态(1+ε)-近似全源最短路径算法实现O(mn/t)更新时间与O(t)查询时间，支持可调权衡。
• 对于删除单源最短路径，存在总更新时间为O(n²)且查询时间为O(1)的算法，优于朴素重新计算方法。
• 条件性下界表明，除非OMv猜想为假，否则任何算法都无法在O((mn)^{1−ε})更新时间内解决动态全源最短路径问题。
• 目前最优秀的强连通分量删除算法运行时间为O(m log n)，显著优于朴素重新计算。
• 本综述指出，目前完全动态全源最短路径精确距离的算法受限于条件性下界，表明为实现效率，近似或摊销界是必要的。