[论文解读] Fully Dynamic All Pairs All Shortest Paths

Matteo Pontecorvi, Vijaya Ramachandran|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了在边权为正的有向图中维护所有点对所有最短路径（APASP）的完全动态算法，支持边权的增加与减少。其均摊时间复杂度为 $O({u^{*}}^{2}/\log^{3}n)$ 每次更新，与唯一最短路径的最优已知界限一致，并进一步扩展至完全动态的介数中心性计算，效率相同。

ABSTRACT

We consider the all pairs all shortest paths (APASP) problem, which maintains all of the multiple shortest paths for every vertex pair in a directed graph $G=(V,E)$ with a positive real weight on each edge. We present two fully dynamic algorithms for this problem in which an update supports either weight increases or weight decreases on a subset of edges incident to a vertex. Our first algorithm runs in amortized $O({ν^*}^2 \cdot \log^3 n)$ time per update, where $n = |V|$, and $ν^*$ bounds the number of edges that lie on shortest paths through any single vertex. Our APASP algorithm leads to the same amortized bound for the fully dynamic computation of betweenness centrality (BC), which is a parameter widely used in the analysis of large complex networks. Our method is a generalization and a variant of the fully dynamic algorithm of Demetrescu and Italiano [DI04] for unique shortest path, and it builds on our recent decremental APASP [NPR14]. Our second (faster) algorithm reduces the amortized cost per operation by a logarithmic factor, and uses new data structures and techniques that are extensions of methods in a fully dynamic algorithm by Thorup.

研究动机与目标

• 设计完全动态算法，用于在边权为正的有向图中维护所有顶点对之间的所有最短路径。
• 支持边权的增加与减少（完全动态更新），扩展了以往仅限于减少或仅限于增加更新的工作。
• 为每对顶点维护所有多重最短路径，从而实现在动态网络中精确计算介数中心性。
• 实现均摊时间复杂度，与现有完全动态 APSP 算法相比达到或超越，即使在存在多重最短路径的情况下亦成立。
• 通过引入一种新颖的“虚拟序列”机制，为 Demetrescu–Italiano 算法提供新的均摊分析。

提出的方法

• 将 Demetrescu 和 Italiano（DI）的完全动态 APSP 算法推广至处理多重最短路径，通过扩展其数据结构与更新过程。
• 使用分层数据结构，包含局部与全局组件，以维护左最短路径扩展（LHP）与右最短路径扩展（RHP）及其计数。
• 使用优先队列 $H_f$ 来处理三元组 $(xa, by)$，表示通过中间节点从 $x$ 到 $y$ 的路径，其键为 $[wt, x, y]$，用于表示路径权重与端点。
• 引入“虚拟序列”以替代原始 DI 序列，从而实现一种新的均摊分析，适用于 APASP 场景。
• 借鉴 Thorup 的更快 APSP 算法中的技术，通过使用高级路径计数与扩展数据结构，将均摊界限降低一个对数因子。
• 通过分层结构（$P(x,y)$, $P^*$, $dict_j$）与控制位（$\beta$）维护路径计数，以追踪新发现的路径，并在更新过程中确保正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出完全动态的 APASP 算法，使其在边权增加与减少下正确维护所有多重最短路径？
• RQ2 即使存在多重路径，能否使完全动态 APASP 的均摊时间复杂度与原始 Demetrescu–Italiano 算法在唯一最短路径情况下的界限保持一致？
• RQ3 能否将 Thorup 的更快 APSP 算法中的技术适配到多重路径场景，以实现更新时间的 $\log n$-因子改进？
• RQ4 所提出的 APASP 算法能否用于以相同的均摊界限动态维护介数中心性？
• RQ5 能否通过用“虚拟序列”替代原始序列，为 Demetrescu–Italiano 算法提供一种新的均摊分析，使其适用于多重路径场景？

主要发现

• 基础算法实现了 $O({\nu^{*}}^{2}\\nolimits\log^{3}n)$ 的均摊更新时间，当 $\nu^*$ 较小时，与 DI 算法在唯一最短路径情况下的界限一致。
• 该算法在边权增加与减少下均能正确维护每对顶点的所有多重最短路径，扩展了以往仅限于减少或仅限于增加的已有方法。
• 通过引入受 Thorup 方法启发的高级数据结构，一种更快的变体将均摊时间降低至 $O({\nu^{*}}^{2}\nolimits\log^{2}n)$。
• APASP 算法可直接用于实现完全动态的介数中心性计算，且具有相同的均摊界限，从而在动态复杂网络中实现高效更新。
• 本文通过引入“虚拟序列”机制，为 Demetrescu–Italiano 算法提供了新的均摊分析，确保在多重路径场景下的正确性与效率。
• 通过循环不变式证明了算法的正确性，该不变式确保在更新过程中，所有最短路径及其计数在数据结构中均被正确维护。