[论文解读] Dynamical canonical heights for Jordan blocks, arithmetic degrees of orbits, and nef canonical heights on abelian varieties

Shu Kawaguchi, Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义理论，将动力学典范高度推广至全球域上正常射影代数簇的Picard群中，针对自同态作用下的若尔当代数块。该理论证明了这些高度的存在性与函数方程，并表明轨道的算术度存在、为代数整数，且仅取有限多个值。对于阿贝尔簇，本文刻画了零内森典范高度的点，并证明：在Zariski稠密轨道上，算术度等于动力学度。

ABSTRACT

Let f : X --> X be an endomorphism of a normal projective variety defined over a global field K, and let D_0,D_1,D_2,... be divisor classes that form a Jordan block with eigenvalue b for the action of f^* on Pic(X) tensored with C. We construct appropriately normalized canonical heights h_0,h_1,h_2,... associated to D_0,D_1,D_2,... and satisfying Jordan transformation formulas h_k(f(x)) = b h_k(x) + h_{k-1}(x). As an application, we prove that for every x in X, the arithmetic degree a_f(x) exists, is an algebraic integer, and takes on only finitely many values as x varies over X. Further, if X is an abelian variety defined over a number field and D is a nonzero nef divisor, we characterize points satisfying h_D(x)=0, and we use this characterization to prove that if the f-orbit of x is Zariski dense in X, then a_f(x) is equal to the dynamical degree of f.

研究动机与目标

• 将经典动力学典范高度理论推广至除数在自同态拉回作用下形成若尔当代数块的情形。
• 解决关于正常射影代数簇上轨道算术度的三个猜想的第一部分。
• 刻画阿贝尔簇上零内森典范高度的点，并将其与轨道动力学联系起来。
• 证明：在阿贝尔簇上，若轨道Zariski稠密，则其算术度等于映射的动力学度。

提出的方法

• 构造典范高度函数 $ \hat{h}_{D_k} $，使其满足若尔当代数块结构在 $ \operatorname{Pic}(X) \otimes \mathbb{C} $ 中的函数方程 $ \hat{h}_{D_k} \circ f = \lambda \hat{h}_{D_k} + \hat{h}_{D_{k-1}} $。
• 利用二项式系数与 $ \lambda $ 的负幂次，推导典范高度的递归极限公式。
• 运用Weil高度理论与Tate极限方法，定义并分析轨道增长的渐近行为。
• 应用广义典范高度，证明算术度的收敛性与代数性。
• 刻画阿贝尔簇上典范高度二次部分在内森除数下的核。
• 证明：在阿贝尔簇上的同源映射中，点的算术度等于动力学度，当且仅当其轨道Zariski稠密。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于自同态 $ f: X \to X $，所有点 $ x \in X(\bar{K}) $ 的算术度 $ \alpha_f(x) $ 是否存在？其是否为代数整数？
• RQ2 当 $ x $ 遍历 $ X(\bar{K}) $ 时，算术度集合 $ \{ \alpha_f(x) \} $ 是否仅取有限多个值？
• RQ3 阿贝尔簇上关于内森除数的典范高度是否仅在某个真阿贝尔子簇与扭点的并集上为零？
• RQ4 若点的正向轨道在Zariski拓扑下稠密，则其算术度是否等于映射的动力学度？
• RQ5 如何将经典典范高度理论推广至Picard群中的若尔当代数块结构？

主要发现

• 所有 $ x \in X(\bar{K}) $ 的算术度 $ \alpha_f(x) $ 存在，为代数整数，且所有此类值的集合是有限的。
• 若尔当代数块的典范高度函数 $ \hat{h}_{D_k} $ 满足函数方程 $ \hat{h}_{D_k} \circ f = \lambda \hat{h}_{D_k} + \hat{h}_{D_{k-1}} $，且由归一化条件 $ \hat{h}_{D_k} = h_{D_k} + O(1) $ 唯一确定。
• 对于数域上的阿贝尔簇，$ \hat{h}_D(x) = 0 $ 当且仅当 $ x \in B_D(\bar{\mathbb{Q}}) + A(\bar{\mathbb{Q}})_{\text{tors}} $，其中 $ B_D \subsetneq A $ 为真阿贝尔子簇。
• 若 $ f $-轨道在阿贝尔簇中Zariski稠密，则 $ \alpha_f(x) = \delta_f $，即 $ f $ 的动力学度。
• CM阿贝尔簇上关于内森除数 $ D $ 的典范高度 $ \hat{h}_{A,D}(x) $ 恰好在映射 $ x \mapsto (\sqrt{m} + \sigma)(x) $ 的核上为零，且当 $ x $ 为有理点时，该核仅含扭点。
• 对于满足 $ \hat{h}_D(x) > 0 $ 的点 $ x $，其算术度满足 $ \alpha_f(x) \geq \delta_f $，且当轨道Zariski稠密时等号成立。