[论文解读] Dynamical Degrees, Arithmetic Degrees, and Canonical Heights for Dominant Rational Self-Maps of Projective Space

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文引入了射影空间上主导有理自同态的典范高度函数与算术度，将经典高度理论推广至非态射情形。证明了对单幂映射而言，某点的算术度等于动力度当且仅当其轨道在Zariski拓扑下稠密，并建立了算术度作为代数整数的有限性。

ABSTRACT

Let F : P^N --> P^N be a dominant rational map. The dynamical degree of F is the quantity d_F = lim (deg F^n)^(1/n). When F is defined over a number field, we define the arithmetic degree of an algebraic point P to be a_F(P) = limsup h(F^n(P))^(1/n) and the canonical height of P to be h_F(P) = limsup h(F^n(P))/n^k d_F^n for an appropriately chosen integer k = k_F. In this article we prove some elementary relations and make some deep conjectures relating d_F, a_F(P), and h_F(P). We prove our conjectures for monomial maps.

研究动机与目标

• 为射影空间上的主导有理自同态定义典范高度函数，将经典理论推广至非态射情形。
• 将某点的算术度定义为迭代下Weil高度增长速率的度量。
• 提出并证明关于动力度、算术度、典范高度及轨道Zariski稠密性的猜想。
• 证明算术度的集合是有限的，且由代数整数组成，并且算术度等于动力度当且仅当轨道是Zariski稠密的。

提出的方法

• 将动力度 δφ 定义为当 n → ∞ 时 (deg φⁿ)¹ᐟⁿ 的极限。
• 将算术度 αφ(P) 定义为 P 属于迭代避免基点集的定义域时，h(φⁿ(P))¹ᐟⁿ 的上极限。
• 将典范高度 ĥφ(P) 定义为 δφ⁻ⁿ n⁻ˡφ h(φⁿ(P)) 的上极限，其中 ℓφ 的选取用于稳定增长速率。
• 证明对单幂映射而言，典范高度是良定义且有限的，并且 αφ(P) = δφ 当且仅当 P 的轨道在 ℙᴺ 中Zariski稠密。
• 利用Picard群上的作用及 φ* 的特征值分析增长速率，并在特定情形下证明猜想。
• 将K3曲面自同构（Picard群为 ℤ²）的结果应用于非态射情形，以验证猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，某点的算术度等于动力度？
• RQ2 所有具有良定义轨道的点的算术度集合是否有限且由代数整数组成？
• RQ3 能否为主导有理映射定义一个推广经典态射情形的典范高度函数？
• RQ4 典范高度、算术度与轨道Zariski稠密性之间的精确关系为何？
• RQ5 诱导上同调映射的特征值如何与高度与次数的增长相关？

主要发现

• 对单幂映射而言，算术度 αφ(P) 等于动力度 δφ 当且仅当 P 的轨道在 ℙᴺ 中Zariski稠密。
• ℙᴺ(ℚ̄)φ 中所有 P 的算术度 αφ(P) 的集合是有限的，且由代数整数组成。
• 在K3曲面 X ⊂ ℙ²×ℙ² 且 NS(X) ≅ ℤ² 的情形下，自同构 φ = ι₁∘ι₂ 满足 δφ = 7 + 4√3，且 αφ(P) = δφ 当且仅当 P 不是周期点。
• 对这类K3曲面自同构，αφ(P) = 1 当且仅当 P 是周期点，即其轨道不Zariski稠密。
• 对单幂映射，典范高度 ĥφ(P) 是良定义且有限的，并且满足 ĥφ(P) = 0 当且仅当 P 是预周期点。
• h(φⁿ(P)) 的增长由 δφⁿ 控制，当以 δφ⁻ⁿ n⁻ˡφ 归一化时，典范高度使增长趋于有限极限。