[论文解读] Dynamical systems of type (m,n) and their C*-algebras

Pere Ara, Ruy Exel+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文引入了一类新的C*-代数，记为$\mathcal{O}_{m,n}$，其来源于动力系统，其中$n$个紧致豪斯多夫空间的副本与$m$个相同空间的副本微分同胚。通过在普遍$(m,n)$-动力系统上构造自由群$\mathbf{F}_{m+n}$的偏作用，作者证明了约化交叉积$\mathcal{O}_{m,n}^r$在$m,n \geq 2$时是精确的且非诺尔伯格的，并证明其不具有有限维表示，从而确立了一个关键的结构性质。

ABSTRACT

Given positive integers n and m, we consider dynamical systems in which n copies of a topological space is homeomorphic to m copies of that same space. The universal such system is shown to arise naturally from the study of a C*-algebra we denote by O_{mn}, which in turn is obtained as a quotient of the well known Leavitt C*-algebra L_{mn}, a process meant to transform the generating set of partial isometries of L{mn} into a tame set. Describing O_{mn} as the crossed-product of the universal (m,n)-dynamical system by a partial action of the free group F_{m+n}, we show that O_{mn} is not exact when n and m are both greater than or equal to 2, but the corresponding reduced crossed-product, denoted O_{mn}^r, is shown to be exact and non-nuclear. Still under the assumption that m,n>=2, we prove that the partial action of F_{m+n} is topologically free and that O_{mn}^r satisfies property (SP) (small projections). We also show that O_{mn}^r admits no finite dimensional representations. The techniques developed to treat this system include several new results pertaining to the theory of Fell bundles over discrete groups.

研究动机与目标

• 定义并研究一个普遍$(m,n)$-动力系统，其中$n$个空间的副本微分同胚于$m$个相同空间的副本。
• 将C*-代数$\mathcal{O}_{m,n}$构造为Leavitt代数$L_{m,n}$的商代数，使偏等距变换成为“驯服”的集合。
• 将$\mathcal{O}_{m,n}$描述为自由群$\mathbf{F}_{m+n}$对普遍系统的一个偏作用的交叉积。
• 分析约化交叉积$\mathcal{O}_{m,n}^r$的结构性质，特别是其精确性、诺尔伯格性以及表示理论。
• 证明当$m,n \geq 2$时，$\mathcal{O}_{m,n}^r$不具有任何有限维表示。

提出的方法

• 通过将紧致豪斯多夫空间$X$分解为$n$个和$m$个两两不相交的闭开子集，每个子集微分同胚于一个空间$Y$，来定义一个普遍$(m,n)$-动力系统。
• 将C*-代数$\mathcal{O}_{m,n}$构造为Leavitt C*-代数$L_{m,n}$的商代数，确保生成的偏等距变换成为“驯服”的。
• 利用动力系统的结构，将$\mathcal{O}_{m,n}$实现为普遍系统关于自由群$\mathbf{F}_{m+n}$的偏作用的交叉积。
• 使用Fell丛理论和条件期望技术分析约化交叉积$\mathcal{O}_{m,n}^r$。
• 证明$\mathbf{F}_{m+n}$的偏作用是拓扑自由的，且$\mathcal{O}_{m,n}^r$满足性质(SP)（小投影）。
• 利用表示理论和核分析表明，任何$\mathcal{O}_{m,n}^r$的有限维表示都必须恒为零，其依据是$C^*_r(\mathbf{F}_2)$的单性和无限维性。

实验结果

研究问题

• RQ1 普遍$(m,n)$-动力系统能否实现为C*-代数关于自由群偏作用的交叉积？
• RQ2 当$m,n \geq 2$时，约化交叉积$\mathcal{O}_{m,n}^r$的精确性与诺尔伯格性如何？
• RQ3 $\mathcal{O}_{m,n}^r$是否具有任何有限维表示？
• RQ4 拓扑自由性与性质(SP)在$\mathcal{O}_{m,n}^r$的结构中起什么作用？
• RQ5 条件期望与商映射在$\mathcal{O}_{m,n}^r$的表示理论中如何相互作用？

主要发现

• 当$m,n \geq 2$时，C*-代数$\mathcal{O}_{m,n}$不是精确的，因为其来源于一个非精确的交叉积构造。
• 当所有$m,n \geq 2$时，约化交叉积$\mathcal{O}_{m,n}^r$是精确的且非诺尔伯格的，从而确立了一类新的精确但非诺尔伯格的C*-代数。
• $\mathbf{F}_{m+n}$在普遍系统上的偏作用是拓扑自由的，这支持了$\mathcal{O}_{m,n}^r$的精确性。
• 代数$\mathcal{O}_{m,n}^r$满足性质(SP)，即其包含任意小迹的投影。
• 任何$\mathcal{O}_{m,n}^r$的有限维表示必须恒为零，因此$\mathcal{O}_{m,n}^r$不具有非零的有限维表示。
• 该证明依赖于：有限维表示限制到$C^*_r(\mathbf{F}_2)$的一个副本上时必须为零，这是由于$C^*_r(\mathbf{F}_2)$的单性和无限维性。