[论文解读] Dynamics of $C^1$-diffeomorphisms: global description and prospects for classification

Sylvain Crovisier|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 49被引用 5

一句话总结

本文提出了一套针对紧致流形上 $C^1$-微分同胚的全局分类框架，猜想此类系统的空间可分解为对应于双曲动力系统、同宿切触或异宿环的开区域——这些是阻碍双曲性的关键因素。该研究推进了一个通过分析局部分岔与支配分解来分类典型 $C^1$ 动力系统的程序，关键成果包括高维情形下非双曲同宿类与鲁棒切触的性质。

ABSTRACT

We are interested in finding a dense part of the space of $C^1$-diffeomorphisms which decomposes into open subsets corresponding to different dynamical behaviors: we discuss results and questions in this direction. In particular we present recent results towards a conjecture by J. Palis: any system can be approximated either by one which is hyperbolic (and whose dynamics is well understood) or by one which exhibits a homoclinic bifurcation (a simple local configuration involving one or two periodic orbits).

研究动机与目标

• 通过将空间分解为具有不同动力行为的开区域，建立 $C^1$-微分同胚空间的全局描述。
• 研究是否任意 $C^1$-微分同胚均可被双曲系统或表现出同宿分岔（切触或异宿环）的系统逼近，此猜想由 Palis 提出。
• 通过支配分解与李雅普诺夫指数的视角，理解非双曲链递归集与同宿类的结构。
• 探索同宿分岔的鲁棒性及其在 $C^1$ 动力系统中作为双曲性阻碍的作用。
• 建立非双曲同宿类非孤立或表现出普遍动力学的条件，暗示典型系统中的复杂性。

提出的方法

• 使用 $C^1$-拓扑分析 $C^1$-微分同胚的动力行为，该方法允许扰动同时保持结构控制。
• 应用闭合引理与扰动技术研究周期轨道及其稳定/不稳定流形。
• 利用支配分解的概念，将切丛分解为具有受控扩张/收缩速率的子丛。
• 研究中心丛 ($E^c$) 内李雅普诺夫指数的作用，以判断非双曲类中体积是否被压缩或扩张。
• 通过局部分岔理论与参数化系统族研究鲁棒同宿切触与异宿环。
• 采用 Pujals 与 Rodriguez-Hertz 引入的临界集，以检测支配分解的缺失与非双曲行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个 $C^1$-微分同胚都可被双曲系统或表现出同宿切触或异宿环的系统逼近？
• RQ2 在 $C^1$-典型情形下，非双曲微分同胚是否必然具有非双曲同宿类？
• RQ3 若同宿类不为“良态”，其是否包含具有鲁棒切触的非孤立非双曲类？
• RQ4 在何种条件下，非双曲同宿类中存在一个周期轨道，其在中心丛中李雅普诺夫指数之和为正？
• RQ5 非双曲同宿类中最细的支配分解是否能决定周期轨道的最小稳定维数？

主要发现

• 对于 $C^1$-典型微分同胚，非双曲同宿类存在，且其特征为切丛分解中缺乏支配分解。
• 在满足 $\dim(E^c_1) \geq 2$ 的非双曲同宿类中，若 $E^c_1$ 中李雅普诺夫指数之和为正，则最小稳定维数为 $\dim(E^s) + 1$，且该类位于与 $E^c_1 \oplus \cdots \oplus E^c_\ell \oplus E^u$ 切于的局部不变子流形中。
• 当 $E^c_1$ 中前 $\dim(E^s \oplus E^c_1) - k + 1$ 个最大李雅普诺夫指数之和为负时，$E^c_1$ 上的体积被压缩，暗示不同的动力结构。
• 具有支配分解 $E^s \oplus E^c \oplus E^u$ 的非周期类必须满足 $\dim(E^c) \geq 2$，且不允许更细的支配分解，表明其具有结构刚性。
• 当 $\dim(M) \geq 3$ 时，$C^1$-微分同胚中可出现鲁棒同宿切触，且此类构型在小扰动下保持稳定。
• 存在一个非空开集的 $C^1$-微分同胚，其动力行为具有普遍性：任何单位球上的微分同胚均可通过该系统在流形中小球上的迭代逼近。