[论文解读] Dynamics of D-branes I. The non-Abelian Dirac-Born-Infeld action, its first variation, and the equations of motion for D-branes --- with remarks on the non-Abelian Chern-Simons/Wess-Zumino term

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用 6

一句话总结

本文利用从带有联络的阿兹马亚/矩阵流形到时空的映射，构建了非阿贝尔狄拉克-伯恩-因菲尔德（DBI）作用量及其首次变分，推导出运动方程。此外，还为低维D-膜构造了一个非阿贝尔陈-西蒙斯/韦斯-祖米诺（CS/WZ）作用量，并推导其变分，表明CS/WZ项在运动方程中贡献一阶非线性项，同时保持了由DBI导出系统的结构。

ABSTRACT

In earlier works, D(1) (arXiv:0709.1515 [math.AG]), D(11.1) (arXiv:1406.0929 [math.DG]), D(11.2) (arXiv:1412.0771 [hep-th]), and D(11.3.1) (arXiv:1508.02347 [math.DG]), we have explained why a D-brane in string theory, when treated as a fundamental dynamical object, can be described by a map $φ$ from an Azumaya/matrix manifold $X^{Az}$ (cf. D-brane world-volume) with a fundamental module with a connection $(E, abla)$ (cf. Chan-Paton bundle) to the target space-time $Y$. In this sequel, we construct a non-Abelian Dirac-Born-Infeld action functional $S_{DBI}^{(Φ, g, B)}(φ, abla)$ for such pairs $(φ, abla)$. We next develop a technical tool needed to study variations of this action and apply it to derive the first variation $δS_{DBI}^{(Φ,g,B)}/δ(φ, abla)$ of $S_{DBI}^{(Φ,g,B)}$ with respect to $(φ, abla)$. The equations of motion that govern the dynamics of D-branes then follow. A complete action for a D-brane world-volume must include also the Chern-Simons/Wess-Zumino term $S_{CS/WZ}^{(C)}(φ, abla)$ that governs how the D-brane world-volume couples with the Ramond-Ramond fields $C$ on $Y$. In the current notes, a version $S^{(C,B)}_{CS/WZ}(φ, abla)$ of non-Abelian Chern-Simons/Wess-Zumino action functional for $(φ, abla)$ that follows the same guide with which we construct $S^{(Φ,g,B)}_{DBI}(φ, abla)$ is constructed for lower-dimensional D-branes (i.e. D(-1)-, D0-, D1-, D2-branes). Its first variation $δS^{(C,B)}_{CS/WZ}(φ, abla)/δ(φ, abla)$ is derived and its contribution to the equations of motion for $(φ, abla)$ follows. The current notes lay down a foundation toward the dynamics of D-branes along the line of this D-project.

研究动机与目标

• 利用从带有联络的阿兹马亚/矩阵流形到时空的映射，构建D-膜的非阿贝尔狄拉克-伯恩-因菲尔德作用量泛函。
• 开发一种技术框架，用于计算非阿贝尔DBI作用量关于映射和联络的首次变分。
• 从总作用量（包含DBI与CS/WZ项）推导D-膜的运动方程。
• 为低维D-膜（D(-1)至D2）构建非阿贝尔陈-西蒙斯/韦斯-祖米诺作用量泛函，并计算其首次变分。
• 分析CS/WZ项对运动方程的贡献，特别是其在生成一阶非线性项中的作用。

提出的方法

• 通过从带有基本模（E,∇）的阿兹马亚/矩阵流形（X^Az）到目标时空Y的映射φ，构建非阿贝尔DBI作用量，该作用量与背景场（Φ, g, B）耦合。
• 利用基于高阶导子与环同态的技术工具，推导出关于（φ, ∇）的首次变分δS_DBIG。
• 类似地，将陈-西蒙斯/韦斯-祖米诺作用量S_CS/WZ构造为与Ramond-Ramond场C和B-场耦合的形式。
• 计算CS/WZ作用量的首次变分，揭示了曲率项以及涉及规范场Fμν与坐标拉回的非阿贝尔对易子的贡献。
• 应用分部积分与莱布尼茨法则简化变分表达式，表明在可接受配置下，某些三形式项消失。
• 通过结合DBI与CS/WZ作用量的首次变分，推导出完整的运动方程组，保持了原始DBI系统的符号结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用阿兹马亚/矩阵几何与联络，一致地构建D-膜的非阿贝尔狄拉克-伯恩-因菲尔德作用量？
• RQ2 非阿贝尔DBI作用量关于映射φ与联络∇的首次变分是什么？它如何导出运动方程？
• RQ3 如何以与DBI构造一致的方式，为低维D-膜（D(-1)至D2）构造非阿贝尔陈-西蒙斯/韦斯-祖米诺作用量？
• RQ4 CS/WZ项对运动方程的贡献是什么？它是否保持了由DBI导出系统的结构？
• RQ5 为何某些三形式项（C(3), C(1)∧B）不对∇的变分有贡献？这对其与规范场耦合的含义是什么？

主要发现

• 非阿贝尔DBI作用量的首次变分导出的运动方程组，推广了非交换且具有规范场耦合情形下的调和映射与最小子流形方程。
• 陈-西蒙斯/韦斯-祖米诺项在运动方程中贡献一阶非线性微分项，具体涉及场强Fμν与坐标拉回的对易子。
• 涉及三形式C(3)与C(1)∧B的项不对∇的变分有贡献，因为在可接受配置下通过分部积分其消失。
• D-膜的运动方程被作为DBI与CS/WZ变分的耦合系统推导出，且CS/WZ项保持了原始DBI系统的符号结构。
• 对维度≤2的D-膜完成了非阿贝尔CS/WZ作用量的构造，其首次变分的显式表达式包含Dμφ♯(Ci)、Fμν以及类似黎曼曲率的项。
• 该框架为研究非交换几何中D-膜的动力学奠定了基础，其解可解释为在背景场存在下扭曲的调和映射或最小子流形。