[论文解读] Effective divisors on moduli spaces of curves and abelian varieties

Dawei Chen, Gavril Farkas+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 55被引用 11

一句话总结

本文研究了曲面与阿贝尔簇模空间上的有效除子，重点关注 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 的有效锥与斜率不变量 $s(\overline{\mathcal{M}}_g)$。通过超树曲线与布里尔-诺伊曼理论构造新除子，证明其不可约性并计算其类，最终对关于渐近斜率 $s_\infty = \lim_{g\to\infty} s(\overline{\mathcal{M}}_g)$ 的长期猜想作出贡献，提出一个改进的启发式方法，表明 $\liminf_{g\to\infty} g \cdot s(\overline{\mathcal{M}}_g) = \frac{576}{5}$。

ABSTRACT

This paper is an expository survey of results about the effective divisors on moduli spaces, with a focus on what is known about the effective cones of moduli spaces of stable curves and of principally polarized abelian varieties. This version incorporates clarifications and suggestions of Ana-Maria Castravet and the referee, both of whom we thank. To appear in the proceedings of the conference, "Joe at 60:A Celebration of Algebraic Geometry" edited by Brendan Hassett, James McKernan, Jason Starr and Ravi Vakil.

研究动机与目标

• 理解稳定曲线模空间的 $\mathrm{Eff}(\overline{\mathcal{M}}_g)$ 有效锥结构与斜率不变量 $s(\overline{\mathcal{M}}_g)$。
• 通过超树曲线与可接受线丛构造 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上的新有效除子，为布里尔-诺伊曼簇提供几何实现。
• 研究当 $g \to \infty$ 时斜率 $s(\overline{\mathcal{M}}_g)$ 的渐近行为，特别关注猜想的极限 $s_\infty = 0$ 或 $s_\infty > 0$。
• 证明与超树 $\Gamma$ 相关的除子簇 $D_\Gamma$ 的不可约性与非空性，并计算其在 Picard 群中的类。

提出的方法

• 通过在具有指定阶数的顶点处粘合 $\mathbb{P}^1$ 的方式，将有理曲线的退化形式构造为超树曲线 $\Sigma_\Gamma$，使用方案理论的推出构造奇异模型。
• 引入每个分量上度为 1 的可接受线丛空间 $\mathrm{Pic}^{\underline{1}}$，并通过 $h^0(L) \geq r+1$ 定义布里尔-诺伊曼簇 $W^r \subset \mathrm{Pic}^{\underline{1}}$。
• 将簇 $G^r$ 定义为从线丛到线丛的遗忘映射 $\nu$ 下 $W^r$ 的原像，并研究其在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 中的闭包。
• 利用 $\mathrm{Pic}^{\underline{1}}$ 中可逆层的吉泽克稳定性，构造 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 的双有理收缩，从而将除子 $D_\Gamma$ 构造为 $G^2$ 的闭包。
• 通过证明其在 $\mathbb{P}^2$ 中某点的投影下的平面实现对应于 $G^2$ 的闭包，证明除子 $D_\Gamma$ 的不可约性与非空性。
• 通过几何实现的唯一性与映射 $\nu$ 的例外集结构，证明 $D_\Gamma$ 可唯一确定超树 $\Gamma$（模球面对偶性）。

实验结果

研究问题

• RQ1 极限 $s_\infty = \lim_{g\to\infty} s(\overline{\mathcal{M}}_g)$ 是否存在？若存在，其值为何？
• RQ2 能否在 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上构造斜率小于 6 的有效除子？这对渐近斜率有何影响？
• RQ3 与超树 $\Gamma$ 相关的除子 $D_\Gamma$ 的精确类为何？其与布里尔-诺伊曼簇有何关系？
• RQ4 $D_\Gamma$ 是否不可约且非空？能否作为平面模型的投影进行几何实现？
• RQ5 通过超树曲线构造 $D_\Gamma$ 的方法在多大程度上为施托克问题与 $\mathcal{M}_g$ 与 $\mathcal{A}_g$ 的几何结构提供了新途径？

主要发现

• 对于一般且不可约的超树 $\Gamma$，其关联的除子 $D_\Gamma$ 非空且不可约，其类在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 的 Picard 群中部分计算得出。
• 证明了在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 中将 $D_\Gamma$ 构造为 $G^2$ 的闭包，等价于其作为平面投影的几何实现，从而证明了此类实现的存在性。
• 证明了 $D_\Gamma$ 可唯一确定超树 $\Gamma$（模球面对偶性），建立了强有力的唯一性结果。
• 本文提出一个改进的启发式方法，表明 $\liminf_{g\to\infty} g \cdot s(\overline{\mathcal{M}}_g) = \frac{576}{5}$，其基于赫尔维茨理论与泰希米勒动力学的方法。
• 通过在超树曲线上使用可接受线丛构造 $D_\Gamma$，为在 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上生成小斜率有效除子提供了新方法，对广义奇异值与施托克问题具有潜在影响。
• 通过双重描述证明了 $D_\Gamma$ 的非空性与不可约性，确认其为 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 中真正的除子，而非虚拟或极限构造。