[论文解读] Efficient Domination for Some Subclasses of $P_6$-Free Graphs in Polynomial Time

Andreas Brandstädt, Elaine M. Eschen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过证明在特定条件下，此类图的平方图是弦图或完美图，为 $P_6$-free 图的特定子类建立了高效支配（ED）和加权高效支配（WED）问题的多项式时间算法。关键贡献在于证明了 $(P_6, \text{house})$-free 和 $(P_6, \text{bull})$-free 图的 ED/WED 问题可在多项式时间内求解，并解决了 $P_6$-free 图复杂性图谱中的开放问题。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite undirected graph. A vertex {\em dominates} itself and all its neighbors in $G$. A vertex set $D$ is an {\em efficient dominating set} (\emph{e.d.}\ for short) of $G$ if every vertex of $G$ is dominated by exactly one vertex of $D$. The \emph{Efficient Domination} (ED) problem, which asks for the existence of an e.d.\ in $G$, is known to be \NP-complete even for very restricted graph classes such as $P_7$-free chordal graphs. The ED problem on a graph $G$ can be reduced to the Maximum Weight Independent Set (MWIS) problem on the square of $G$. The complexity of the ED problem is an open question for $P_6$-free graphs and was open even for the subclass of $P_6$-free chordal graphs. In this paper, we show that squares of $P_6$-free chordal graphs that have an e.d. are chordal; this even holds for the larger class of ($P_6$, house, hole, domino)-free graphs. This implies that ED/WeightedED is solvable in polynomial time for ($P_6$, house, hole, domino)-free graphs; in particular, for $P_6$-free chordal graphs. Moreover, based on our result that squares of $P_6$-free graphs that have an e.d. are hole-free and some properties concerning odd antiholes, we show that squares of ($P_6$, house)-free graphs (($P_6$, bull)-free graphs, respectively) that have an e.d. are perfect. This implies that ED/WeightedED is solvable in polynomial time for ($P_6$, house)-free graphs and for ($P_6$, bull)-free graphs (the time bound for ($P_6$, house, hole, domino)-free graphs is better than that for ($P_6$, house)-free graphs). The complexity of the ED problem for $P_6$-free graphs remains an open question.

研究动机与目标

• 解决 $P_6$-free 图及其相关子类中高效支配（ED）问题的开放复杂性状态。
• 确定 $P_6$-free 图在具有高效支配集时，其平方图为弦图或完美图的条件。
• 通过图平方图的结构特性，将 ED/WED 的多项式时间可解性扩展至已知图类之外。
• 通过证明 $P_7$-free chordal 图为 NP-完全，而 $P_6$-free chordal 图为多项式时间可解，为 $P_k$-free chordal 图提供一个划分结果。
• 研究 $P_6$-free 图的平方图中 $C_4$ 实现与奇反洞的结构，以支持算法约化。

提出的方法

• 将图 $G$ 上的 ED 问题约化为 $G^2$（即 $G$ 的平方图）上的最大权独立集（MWIS）问题。
• 证明对于具有高效支配集的 $(P_6, \text{HHD})$-free 图，$G^2$ 是弦图，从而可通过已知算法在多项式时间内求解 MWIS。
• 证明 $P_6$-free 图若具有高效支配集，则其 $G^2$ 是无洞图，这是实现完美性的关键步骤。
• 分析 $G^2$ 中的 $C_4$ 实现，表明若 $G$ 是 $P_6$-free 且具有高效支配集，则 $G^2$ 中的奇反洞必须具有非常受限的结构。
• 应用强完美图定理，得出当 $G$ 是 $(P_6, \text{house})$-free 或 $(P_6, \text{bull})$-free 且具有高效支配集时，$G^2$ 是完美图。
• 利用完美图上 MWIS 可在多项式时间内求解的事实，推导出在相应图类上 ED/WED 的多项式时间算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 $P_6$-free chordal 图的高效支配问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 在何种条件下，具有高效支配集的 $P_6$-free 图的平方图是弦图或完美图？
• RQ3 $G^2$ 中 $C_4$ 实现对具有高效支配集的 $P_6$-free 图施加了何种结构约束？
• RQ4 $(P_6, \text{house})$-free 和 $(P_6, \text{bull})$-free 图的 ED 问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ5 是否对任意具有高效支配集的 $P_6$-free 图，其 $G^2$ 均为完美图？该猜想是否成立？

主要发现

• 对于 $(P_6, \text{house, hole, domino})$-free 图，若 $G$ 具有高效支配集，则 $G^2$ 为弦图，从而可通过弦图上的 MWIS 在多项式时间内求解 ED/WED。
• 对于具有高效支配集的 $P_6$-free 图，$G^2$ 是无洞图，这是完美性的必要但非充分条件。
• 对于具有高效支配集的 $(P_6, \text{house})$-free 图，$G^2$ 既无洞也无奇反洞，因此根据强完美图定理，$G^2$ 是完美图。
• 对于具有高效支配集的 $(P_6, \text{bull})$-free 图，$G^2$ 无奇反洞，因此 $G^2$ 是完美图。
• 由于 $G^2$ 的完美性，$(P_6, \text{house})$-free 和 $(P_6, \text{bull})$-free 图的 ED 和 WED 问题可在多项式时间内求解。
• 一般 $P_6$-free 图的 ED 问题复杂性仍为开放问题，但本文提供了强有力的结构证据，支持 $G^2$ 对此类图是完美图的猜想。