[论文解读] Efficient enumeration of solutions produced by closure operations

Arnaud Mary, Yann Strozecki|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Formal Methods in Verification参考文献 35被引用 10

一句话总结

本文提出了一种针对布尔向量上闭包运算生成的所有元素的多项式延迟枚举算法，采用回溯搜索和成员资格判定决策过程。关键贡献在于证明：对于布尔域上的任意运算集合，闭包成员资格问题均可在多项式时间内判定，从而实现对并、交、对称差及其他集合运算封闭解的高效枚举。

ABSTRACT

In this paper we address the problem of generating all elements obtained by the saturation of an initial set by some operations. More precisely, we prove that we can generate the closure by polymorphisms of a boolean relation with a polynomial delay. This implies for instance that we can compute with polynomial delay the closure of a family of sets by any set of "set operations" (e.g. by union, intersection, difference, symmetric difference$\dots$). To do so, we prove that for any set of operations $\mathcal{F}$, one can decide in polynomial time whether an elements belongs to the closure by $\mathcal{F}$ of a family of sets. When the relation is over a domain larger than two elements, our generic enumeration method fails for some cases, since the associated decision problem is $NP$-hard and we provide an alternative algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种针对布尔向量闭包运算生成的所有元素的多项式延迟枚举算法。
• 确定布尔域上各种运算集合的闭包成员资格问题的复杂度。
• 将已知的闭包枚举方法（如图或超图中的环）推广至通用框架。
• 探索当定义域元素多于两个时，高效枚举的极限，此时成员资格问题变为NP难。

提出的方法

• 利用Post的格结构及克隆之间的约化关系，对闭包问题的复杂度进行分类。
• 设计一种回溯搜索算法，实现闭包元素的多项式延迟枚举。
• 利用布尔域下，任意运算集合的闭包成员资格问题均属于P的性质，从而实现高效枚举。
• 构建一个以闭包元素为顶点、边表示运算应用的有向图，并通过深度优先遍历枚举解。
• 使用自平衡搜索树维护已生成的解集合，确保无重复且支持多项式时间内的成员资格检查。
• 对于更大定义域上的结合函数，通过允许空间随解的数量成比例增长，采用空间成比例的算法，实现多项式延迟，尽管成员资格问题为NP难。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够对布尔向量集合在任意运算集下的闭包实现多项式延迟枚举？
• RQ2 对于布尔域上的所有运算集合，向量集合闭包的成员资格问题是否均可在多项式时间内判定？
• RQ3 当定义域元素多于两个时，闭包成员资格问题的复杂度如何？
• RQ4 即使成员资格问题为NP难，只要拥有足够空间，是否仍可实现多项式延迟枚举？
• RQ5 能否对反向搜索方法进行调整，以实现单调闭包运算的多项式空间与多项式延迟？

主要发现

• 对于布尔域上的任意运算集合，闭包成员资格问题均可在多项式时间内判定，从而支持高效枚举。
• 所提出的算法以多项式延迟枚举所有闭包元素，显著优于朴素的饱和方法。
• 该方法推广了已知结果，如超图在并与交下的闭包，以及通过对称差生成环。
• 对于更大定义域上的结合函数，若允许空间随解的数量成比例增长，则存在多项式延迟枚举算法。
• 尽管解集大小呈指数级增长，回溯搜索方法已足够实现布尔闭包问题的多项式延迟。
• 通过限制枚举至最小闭包元素，该框架可用于生成极小元素（如二元拟阵的圈）。