[论文解读] Efficient learning of ground & thermal states within phases of matter

Emilio Onorati, Cambyse Rouzé+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2023

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 79被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，通过利用关联的指数衰减和近似马尔可夫性质，高效学习物质量子相中的基态与热态。该方法在系统尺寸上实现对数多边形样本复杂度，在可观测量局部性上实现多项式缩放——相比先前方法实现指数级改进——从而实现对广泛性质和局部可观测量的鲁棒、逐点精确估计，并在有限样本下提供严格保证。

ABSTRACT

We consider two related tasks: (a) estimating a parameterisation of a given Gibbs state and expectation values of Lipschitz observables on this state; and (b) learning the expectation values of local observables within a thermal or quantum phase of matter. In both cases, we wish to minimise the number of samples we use to learn these properties to a given precision. For the first task, we develop new techniques to learn parameterisations of classes of systems, including quantum Gibbs states of non-commuting Hamiltonians with exponential decay of correlations and the approximate Markov property. We show it is possible to infer the expectation values of all extensive properties of the state from a number of copies that not only scales polylogarithmically with the system size, but polynomially in the observable's locality -- an exponential improvement. This set of properties includes expected values of quasi-local observables and entropies. For the second task, we develop efficient algorithms for learning observables in a phase of matter of a quantum system. By exploiting the locality of the Hamiltonian, we show that $M$ local observables can be learned with probability $1-\delta$ to precision $\epsilon$ with using only $N=O\big(\log\big(\frac{M}{\delta}\big)e^{polylog(\epsilon^{-1})}\big)$ samples -- an exponential improvement on the precision over previous bounds. Our results apply to both families of ground states of Hamiltonians displaying local topological quantum order, and thermal phases of matter with exponential decay of correlations. In addition, our sample complexity applies to the worse case setting whereas previous results only applied on average. Furthermore, we develop tools of independent interest, such as robust shadow tomography algorithms, Gibbs approximations to ground states, and generalisations of transportation cost inequalities for Gibbs states.

研究动机与目标

• 开发高效算法，用于估算物质量子相中局部和准局部可观测量的期望值。
• 将学习吉布斯态和基态的样本复杂度降低至系统尺寸的对数多边形缩放，并在可观测量局部性上实现多项式缩放。
• 将经典阴影和哈密顿量学习的先前工作扩展至非对易哈密顿量以及关联指数衰减的相。
• 为相中可观测量的学习提供逐点而非平均情况的误差保证。
• 利用传输成本不等式和吉布斯近似，为局部不可区分态建立鲁棒的理论基础。

提出的方法

• 为在关联指数衰减条件下学习基态和吉布斯态，开发了针对此类态的鲁棒阴影层析协议。
• 通过局部马尔可夫性质，引入对局部不可区分基态的吉布斯近似。
• 将广义传输成本不等式应用于非对易哈密顿量，以界定估计误差。
• 通过局部项参数化哈密顿量并控制雅可比导数有界性，以调控可观测量对扰动的敏感性。
• 采用非独立同分布阴影层析，通过对子族状态的经验平均处理非相同副本。
• 利用测度集中性和局部可观测量在扰动下的光滑性，确保从少量样本中实现泛化。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否以系统尺寸的对数多边形缩放实现对量子相中局部和准局部可观测量期望值的高效学习？
• RQ2 我们能否在间隙相和热相中学习可观测量时，实现相对于先前方法在精度缩放上的指数级改进？
• RQ3 我们能否将基于经典阴影的学习方法扩展至非对易哈密顿量和关联指数衰减的态？
• RQ4 我们能否在相学习中提供逐点误差保证，而非仅平均情况的界？
• RQ5 我们能否为局部不可区分的基态构造鲁棒的吉布斯近似？

主要发现

• 该方法在学习 M 个局部可观测量时，样本复杂度为 O(log(M/δ) · e^{polylog(ε⁻¹)})，精度为 ε，失败概率为 δ，相比先前工作在 ε 缩放上实现指数级改进。
• 估算所有广延性质所需的样本数在系统尺寸上呈对数多边形缩放，在可观测量局部性上呈多项式缩放，解决了 [RF21] 和 [AAKS21] 中的猜想。
• 该框架适用于具有关联指数衰减的热相以及具有广义局部拓扑序的间隙哈密顿量的基态。
• 建立了逐点误差保证，不同于以往的平均情况界，确保相中任意单个态的可靠恢复。
• 通过子族的经验平均，将鲁棒阴影层析扩展至非独立同分布副本，收敛界基于非独立同分布矩阵伯恩斯坦不等式推导。
• 发展并证明了理论工具的有效性，包括非对易哈密顿量的传输成本不等式和局部不可区分态的吉布斯近似。