[论文解读] Efficient Quantum Algorithm for Identifying Hidden Polynomials

Thomas Decker, Jan Draisma+1 more|ArXiv.org|Jun 8, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种量子算法，能够高效识别有限域上度数有界的多元多项式，利用‘良好测量’（pretty good measurement）框架，在有限域大小的对数多项式时间内实现恒定的成功概率。与经典方法需要 Ω(√d) 次查询不同，该量子方法在固定次数和变量数下，以 log d 的多项式时间解决该问题。

ABSTRACT

We consider a natural generalization of an abelian Hidden Subgroup Problem where the subgroups and their cosets correspond to graphs of linear functions over a finite field F with d elements. The hidden functions of the generalized problem are not restricted to be linear but can also be m-variate polynomial functions of total degree n>=2. The problem of identifying hidden m-variate polynomials of degree less or equal to n for fixed n and m is hard on a classical computer since Omega(sqrt{d}) black-box queries are required to guarantee a constant success probability. In contrast, we present a quantum algorithm that correctly identifies such hidden polynomials for all but a finite number of values of d with constant probability and that has a running time that is only polylogarithmic in d.

研究动机与目标

• 解决使用经典方法识别有限域上次数 ≥2 的隐藏多元多项式的计算困难性问题。
• 通过推广到多项式函数，将阿贝尔隐藏子群问题（HSP）推广至非线性结构。
• 为在特定域约束下固定次数的多项式，开发一种高效求解隐藏多项式问题（HPP）的量子算法。
• 建立量子态判别与经典代数几何问题之间的联系，以分析成功概率。
• 证明该算法的成功概率下限为与域大小 d 无关的常数，从而实现高效实现。

提出的方法

• 通过将多项式信息编码到量子态中，将隐藏多项式问题（HPP）转化为量子态识别问题。
• 应用‘良好测量’（pretty good measurement）框架，以区分对应于不同隐藏多项式的量子态。
• 基于代数几何设计测量方案，特别分析多项式映射的纤维及其原像。
• 利用 Schwartz-Zippel 引理及雅可比行列式性质，确保大部分输入值位于‘良好’集合中，使测量有效。
• 实现一种近似测量过程，可在量子计算机上高效实现，且其成功概率下限为常数。
• 依赖于雅可比行列式非零以及关键多项式 g(x) 的非零像，以保证存在足够多的‘良好’输入。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在量子计算机上高效求解有限域上次数 ≥2 的多元多项式隐藏多项式问题（HPP）？
• RQ2 识别有限域上隐藏多项式的查询复杂度是多少？与经典下界相比如何？
• RQ3 ‘良好测量’框架能否被适配于隐藏子群问题的非阿贝尔或非线性推广？
• RQ4 有限域的特征在构建 HPP 高效量子算法的可行性中起什么作用？
• RQ5 量子态判别成功概率与多项式系统经典代数几何性质之间是否存在关联？

主要发现

• 该量子算法以恒定成功概率识别有限域 F 上 m 元、总次数 ≤n 的隐藏多项式，其中 F 有 d 个元素。
• 该算法运行时间在 d 上为对数多项式时间，具体为 O((log d)^c)，其中常数 c 依赖于 m 和 n。
• 对于固定的 m 和 n，该算法的成功概率下限为与 d 无关的正数，即使 d 增大也成立。
• 经典算法需要 Ω(√d) 次查询才能实现恒定成功概率，因此该量子加速在最坏情况下为指数级。
• 成功概率的下界来源于代数几何分析，特别是雅可比行列式非零性以及对‘良好’输入数量的 Schwartz-Zippel 估计。
• 该算法可在量子计算机上高效实现，且‘良好’集合的成员资格可在经典多项式时间内计算。