[论文解读] Ekedahl-Oort strata for good reductions of Shimura varieties of Hodge type

Chao Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文研究了在素数 $p > 2$ 下，Hodge型志村簇的良好约化下的 Ekedahl-Oort子簇，利用 $ar{G}$-zips 通过 Weyl 群的元素对子簇进行参数化。证明了每个非空子簇均为光滑的，其维数等于对应 Weyl 群元素的长度，并通过 Weyl 群上的组合偏序关系完全描述了子簇的闭包关系。

ABSTRACT

For a Shimura variety of Hodge type with hyperspecial level structure at a prime $p$, Vasiu and Kisin constructed a smooth integral model (namely the integral canonical model) uniquely determined by a certain extension property. We define and study the Ekedahl-Oort stratifications on the special fibers of those integral canonical models when $p>2$. This generalizes Ekedahl-Oort stratifications defined and studied by Oort on moduli spaces of principally polarized abelian varieties and those defined and studied by Moonen, Wedhorn and Viehmann on good reductions of Shimura varieties of PEL type. We show that the Ekedahl-Oort strata are parameterized by certain elements $w$ in the Weyl group of the reductive group in the Shimura datum. We prove that the stratum corresponding to $w$ is smooth of dimension $l(w)$ (i.e. the length of $w$) if it is non-empty. We also determine the closure of each stratum.

研究动机与目标

• 将 Ekedahl-Oort 子簇的分层结构从 PEL 型和 Siegel 型志村簇推广到 Hodge 型志村簇。
• 在 Hodge 型志村簇的积分典范模型的特殊纤维上，定义并研究 Ekedahl-Oort 子簇，其中 $p > 2$。
• 利用志村数据中半单群的 Weyl 群的元素对子簇进行参数化。
• 建立子簇的维数公式与闭包关系，证明非空子簇的光滑性。

提出的方法

• 利用辛嵌入和志村数据的约化，在积分典范模型的特殊纤维 $\mathscr{S}_0$ 上构造一个类型为 $\mu$ 的 $\overline{G}$-zip。
• 利用由 $\overline{G}$-zip 导出的态射 $\zeta: \mathscr{S}_0 \to \overline{G}\texttt{-}\mathtt{Zip}_\kappa^\mu$，将 Ekedahl-Oort 子簇定义为 $\overline{\mathbb{F}}_p$-点的原像。
• 证明态射 $\zeta$ 是光滑的，从而保证子簇在非空时局部闭且光滑。
• 通过 Weyl 群 $W$ 模其关于 $\mu$ 的抛物子群 $P_+$ 的最小陪集代表元集合 ${}^JW$ 中的元素 $w$ 对子簇进行参数化，且对非空子簇有 $\dim \mathscr{S}^w_0 = \ell(w)$。
• 利用 ${}^JW$ 上的偏序关系 $\preceq$ 的组合性质，将每个子簇的 Zariski 闭包描述为所有满足 $w' \preceq w$ 的子簇 $\mathscr{S}^{w'}_0$ 的并集，即闭包为所有维数 $\leq \dim \mathscr{S}^w_0$ 的子簇的并。
• 应用文献 [32] 的结果，计算 $\mathrm{CSpin}$-簇的 $({}^JW, \preceq)$ 结构，将问题约化为已知的 Weyl 群计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $p > 2$ 下定义并研究 Hodge 型志村簇的良好约化下的 Ekedahl-Oort 子簇？
• RQ2 在此设定下，Ekedahl-Oort 子簇的参数空间是什么？它与志村数据中半单群的 Weyl 群有何关系？
• RQ3 每个 Ekedahl-Oort 子簇的维数是多少？在什么条件下它是非空的？
• RQ4 子簇的闭包在 Weyl 群的偏序关系下如何从拓扑上描述？
• RQ5 对于 $\mathrm{CSpin}$-志村簇，Ekedahl-Oort 分层结构是怎样的？奇数 $n$ 与偶数 $n$ 的情况有何不同？

主要发现

• 特殊纤维 $\mathscr{S}_0$ 上的 Ekedahl-Oort 子簇由 Weyl 群 $W$ 模与共轭 $\mu$ 相关的抛物子群 $P_+$ 的最小陪集代表元集合 ${}^JW$ 中的元素 $w$ 参数化。
• 每个非空的 Ekedahl-Oort 子簇 $\mathscr{S}^w_0$ 均为光滑的，其维数为 Weyl 群元素 $w$ 的长度 $\ell(w)$。
• 子簇 $\mathscr{S}^w_0$ 的 Zariski 闭包是所有满足 $w' \preceq w$ 的子簇 $\mathscr{S}^{w'}_0$ 的并集，且闭包恰好是所有维数 $\leq \dim \mathscr{S}^w_0$ 的子簇的并。
• 存在唯一的开稠密子簇（即平凡子簇）和至多一个零维子簇（即超特殊子簇），在给定条件下两者均唯一。
• 对于 $\mathrm{CSpin}$-志村簇，若 $n$ 为奇数，则对每个 $i$ 满足 $0 \leq i \leq n$，存在唯一的子簇维数为 $i$，且子簇按维数全序排列。
• 若 $n$ 为正偶数，则对每个 $i \neq n/2$，存在唯一的子簇维数为 $i$，且维数为 $n/2$ 的子簇至多有两个，整个分层结构由 ${}^JW$ 上的偏序关系完全描述。