[论文解读] Generalized mu-ordinary Hasse invariants

Jean-Stefan Koskivirta, Torsten Wedhorn|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文通过 $G$-zips 的堆栈，对具有良好约化素数处的霍奇型志村簇的广义 $μ$-平凡 Hasse不变量给出了一个群论构造。它给出了最小幂 $N_{\mu}$ 的显式公式，使得霍奇丛的 $N_{\mu}$ 次幂可 admits Hasse 不变量，并以统一且显式的方式将韦伊限制下的埃克达尔-奥尔特子簇与基群的子簇联系起来。

ABSTRACT

We construct canonical Hasse invariants for arbitrary Shimura varieties of Hodge type for the mu-ordinary locus.

研究动机与目标

• 为具有良好约化素数的霍奇型志村簇的 $μ$-平凡子簇构造一个规范的 Hasse 不变量。
• 提供最小整数 $N_{\mu}$ 的显式公式，使得霍奇丛的 $N_{\mu}$ 次幂可 admits Hasse 不变量。
• 将一个作为韦伊限制的半单群 $G$ 的埃克达尔-奥尔特子簇与它的基群 $G_1$ 的子簇联系起来。
• 提出一种新的群论方法来构造 Hasse 不变量，避免依赖基于迪尤当模块的复杂半线性代数技术。

提出的方法

• 使用 Moonen-Wedhorn 和 Pink-Wedhorn-Ziegler 引入的 $G$-zips 堆栈 $\mathop{\text{$G$-{ t Zip}}} olimits^{\mu}$ 来参数化埃克达尔-奥尔特子簇。
• 将 Hasse 不变量构造为 $\mathop{\text{$G$-{ t Zip}}} olimits^{\mu}$ 上线丛 $\mathscr{V}(N_{\mu}\lambda)$ 的截面，其非零点集恰好为 $μ$-平凡子簇 $U_{\mu}$。
• 将 $N_{\mu}$ 定义为最小正整数，使得 $N_{\mu}\lambda$ 关于 zip 数据 ${\mathcal{Z}} = (G,P,L,Q,M,\varphi)$ 是 ${\mathcal{Z}}$-ample。
• 通过分析 $L_0(\mathbb{F}_p)$ 的阿贝尔化及其特征群 $X^*(L_0(\mathbb{F}_p))$ 的指数，显式计算了 PEL 型情形下的 $N_{\mu}$。
• 利用韦伊限制的正合列 $1 \to G_1 \to G \to \mathbb{G}_{m,\mathbb{F}_p} \to 1$ 来关联子簇并计算 $N_{\mu}$。
• 在上同调维数为 1 的有限域上应用上同调技术，分析 $L_0(\mathbb{F}_p)$ 及其特征群的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于霍奇型志村簇的 $μ$-平凡点集，霍奇丛的最小幂 $N_{\mu}$ 是多少，使得其 $N_{\mu}$ 次幂可 admits Hasse 不变量？
• RQ2 对于韦伊限制 $G = \operatorname{Res}_{\mathbb{F}_{p^r}/\mathbb{F}_p}(G')$，其埃克达尔-奥尔特子簇与基群 $G'$ 的子簇有何关系？
• RQ3 能否给出一个统一的、群论的 $μ$-平凡 Hasse 不变量构造，而无需依赖迪尤当模理论？
• RQ4 对于哪些半单群 $G$，Hasse 不变量存在于霍奇丛的 $N_{\mu}$ 次幂上？

主要发现

• 使得霍奇丛的 $N_{\mu}$ 次幂可 admits Hasse 不变量的最小整数 $N_{\mu}$ 显式计算为：当 $G' = GL_n$ 时为 $p^r - 1$，当 $G' = U(n)$ 时为 $p^{2r} - 1$，当 $G' = Sp_{2g}$ 时为 $p^r - 1$。
• 在 $μ$-平凡点集上，Hasse 不变量作为截面 $h_K \in H^0(S_K, \omega^{N_{\mu}})$ 存在，其非零点集恰好为 $μ$-平凡子簇。
• 截面 $h_K$ 唯一地延拓至最小紧化 $S_K^{\rm min}$，并在其上定义了 $μ$-平凡子簇为该延拓截面的非零点集。
• 对于 $G = \operatorname{Res}_{\mathbb{F}_{p^r}/\mathbb{F}_p}(G')$，$G$ 的埃克达尔-奥尔特子簇与 $G'$ 的子簇之间存在双射，且子簇通过正合列 $1 \to G_1 \to G \to \mathbb{G}_{m,\mathbb{F}_p} \to 1$ 相关联。
• 该构造与 Goldring-Nicole 及 Boxer 在酉群情形下的先前结果一致，且 $N_{\mu} = p^{2r} - 1$ 与他们的显式计算相符。
• 该方法避免了先前工作中使用的“轨道 $p$-接近”条件，为开子簇提供了更强且更显式的结论。