[论文解读] Elliptic curves with non-abelian entanglements

Nathan Jones, Ken McMurdy|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文对数域上具有非交换纠缠的椭圆曲线进行分类，聚焦于其分圆域中的亏格零模曲线。通过显式参数化，提供了此类曲线的完整列表，表明非交换纠缠源于GL₂(Ẑ)的特定开子群，并利用同源与伽罗瓦理论条件，在Q(t)上构造了一个无限族D₆-纠缠。

ABSTRACT

We consider the problem of classifying quadruples $(K,E,m_1,m_2)$ where $K$ is a number field, $E$ is an elliptic curve defined over $K$ and $(m_1,m_2)$ is a pair of relatively prime positive integers for which the intersection $K(E[m_1]) \cap K(E[m_2])$ is a non-abelian extension of $K$. There is an infinite set $\mathcal{S}$ of modular curves whose $K$-rational points capture all elliptic curves over $K$ without complex multiplication that have this property. Our main theorem explicitly describes the (finite) subset of $\mathcal{S}$ consisting of those modular curves having genus zero. In the case $K = \mathbb{Q}$, this has applications to the problem of determining when the Galois representation on the torsion of $E$ is as large as possible modulo a prescribed obstruction; we illustrate this application with a specific example.

研究动机与目标

• 对数域K上的椭圆曲线进行分类，其分圆域中存在非交换纠缠。
• 识别所有源自亏格零模曲线的此类纠缠。
• 使用与GL₂(Ẑ)中的开子群G ⊆相关联的模曲线X̃G，对这些曲线提供显式参数化。
• 证明在Q(t)上存在一个具有无界阶的无限族D₆-纠缠。
• 阐明伽罗瓦表示与纠缠在复合模m表示背景下的作用。

提出的方法

• 使用模曲线X(m)及其在⟨G, −I⟩作用下的商曲线X̃G(m)，其中G ⊆ GL₂(Ẑ)为开子群。
• 应用遗忘映射j̃G: X̃G → X(1) ≅ P¹，将K-有理点解释为具有指定伽罗瓦像的椭圆曲线。
• 采用亏格零参数化技术，包括通过y² = −3t的有理参数化及代换，推导出奇异三次模型。
• 通过显式Weierstrass方程在Q(t)上构造椭圆曲线ED族，其系数包含D²A(t)与D³B(t)，其中A(t)与B(t)为有理函数。
• 利用纤维积与同源条件，确保ρE(GK) ˙⊆G6,D，依赖于K(μ₃)、K(E[2])与√D的条件。
• 应用群论工具，如η的核与GL₂(Z/mZ)中的共轭类，以表征纠缠结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在数域K上，哪些椭圆曲线在其复合m的分圆域中具有非交换纠缠？
• RQ2 与GL₂(Ẑ)中的开子群G ⊆相关联的哪些模曲线X̃G具有亏格零并参数化非交换纠缠？
• RQ3 能否构造一个具有非交换纠缠且阶m无界的无限族椭圆曲线？
• RQ4 哪些伽罗瓦理论条件可确保当m₁, m₂互素时，纠缠K(E[m₁]) ∩ K(E[m₂])为非交换？
• RQ5 伽罗瓦表示的像如何与复合阶分圆域中纠缠结构相关联？

主要发现

• 本文对所有参数化数域上具有非交换纠缠的椭圆曲线的亏格零模曲线X̃G提供了完整分类。
• 通过椭圆曲线ED: y² = x³ + D²A(t)x + D³B(t)显式构造了Q(t)上一个无限族D₆-纠缠，其中A(t)与B(t)为显式给出的有理函数。
• 对每个基本判别式D，曲线ED在Q(t)上满足ρED(GQ(t)) .= G6,D，且纠缠K(ED[3]) ∩ K(ED[mD])为D₆型的非交换纠缠。
• 该纠缠源于交集K(μ₃) ∩ K(ED[2], √D)，其伽罗瓦像共轭于GL₂(Z/6Z)的子群，且像同构于D₆。
• 群˜G6的阶为6，尽管−I ∈ ˜G6，但在任何伽罗瓦表示ρE(GQ)的像中均不包含−I，原因在于不存在包含−I的换位子稠密子群。
• 该构造表明，对固定的G₀，集合{mGL₂(G) : G ∈ Gnon-ab(0), G .= SL₂ G₀}是无界的，从而证实了在任意高阶存在纠缠。