[论文解读] Elliptic quantum groups and their finite-dimensional representations

Sachin Gautam, Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文通过 Drinfeld 半电流，以内在且统一的方式定义了椭圆量子群 $\tau_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ 的有限维表示范畴，扩展了此前对 $\mathfrak{sl}_2$ 的工作，并在 $\mathfrak{sl}_n$ 情况下重现了 Felder 的 RLL 构造。其主要贡献是通过椭圆 Drinfeld 多项式对不可约表示进行分类，建立了与 $|\mathbf{I}|$ 份椭圆曲线 $E_\tau$ 的对称积的双射关系，类似于杨代数与量子环代数的分类结果。

ABSTRACT

Let g be a complex semisimple Lie algebra, tau a point in the upper half-plane, and h a complex deformation parameter such that the image of h in the elliptic curve E_tau is of infinite order. In this paper, we give an intrinsic definition of the category of finite-dimensional representations of the elliptic quantum group E_{h,tau}(g) associated to g. The definition is given in terms of Drinfeld half-currents and extends that given by Enriquez-Felder for g=sl_2. When g=sl_n, it reproduces Felder's RLL definition via the Gauss decomposition obtained by Enriquez-Felder for n=2 and by the first author for n greater than 2. We classify the irreducible representations of E_{h,tau} in terms of elliptic Drinfeld polynomials, in close analogy to the case of the Yangian Y_h(g) and quantum loop algebra U_q(Lg) of g. A crucial ingredient in the classification, which circumvents the fact that E_{h,tau} does not appear to admit Verma modules, is a functor from finite-dimensional representations of U_q(Lg) to those of E_{h,tau} which is an elliptic analogue of the monodromy functor constructed in our previous work arXiv:1310.7318. Our classification is new even for g=sl_2, and holds more generally when g is a symmetrisable Kac-Moody algebra, provided finite-dimensionality is replaced by an integrability and category O condition.

研究动机与目标

• 为与复半单李代数 $\mathfrak{g}$ 关联的椭圆量子群 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ 提供一个内在且统一的有限维表示范畴定义。
• 将 Drinfeld 半电流实现推广至椭圆量子群，推广 Enriquez–Felder 对 $\mathfrak{sl}_2$ 的工作，并通过 Gauss 分解恢复 Felder 对 $\mathfrak{sl}_n$ 的 RLL 构造。
• 利用椭圆 Drinfeld 多项式的类比，对 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ 的不可约有限维表示进行分类。
• 构造一个从量子环代数 $U_q(L\mathfrak{g})$-表示到 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$-表示的函子 $\Theta$，作为椭圆单值变换函子，以克服 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ 中 Verma 模的缺失。

提出的方法

• 通过在谱参数与动力参数下取值于 $\operatorname{End}(\mathbb{V})$ 的亚纯函数 $\Phi_i(u,\lambda)$、$\mathfrak{X}_i^\pm(u,\lambda)$ 定义范畴 $\operatorname{Rep}_{\scriptscriptstyle{\operatorname{fd}}}\left(\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})\right)$，并满足椭圆交换关系。
• 限制到子范畴 $\mathcal{L}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$，其中 $\Phi_i(u,\lambda)$ 与 $\lambda$ 无关，从而简化分类问题。
• 引入编码于椭圆曲线 $E_\tau = \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z})$ 的对称积中的椭圆 Drinfeld 多项式，其零点参数化不可约表示。
• 构造一个从 $U_q(L\mathfrak{g})$-表示到 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$-表示的函子 $\Theta$，作为单值变换函子的椭圆类比。
• 利用函子 $\Theta$ 将已知的 $U_q(L\mathfrak{g})$ 上的分类结果提升至椭圆情形，从而对不可约表示进行分类。
• 通过 theta 函数性质与对称核的约化，验证关键关系，将其归约为 $\theta$-函数与模参数中的恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在所有李型下内在且统一地定义椭圆量子群有限维表示的范畴？
• RQ2 能否通过椭圆 Drinfeld 多项式的类比，如同在杨代数与量子环代数的情形中一样，实现对椭圆量子群不可约表示的分类？
• RQ3 如何克服 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ 中 Verma 模的缺失，以实现不可约表示的分类？
• RQ4 量子环代数 $U_q(L\mathfrak{g})$ 在构造 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$-表示中起什么作用？函子 $\Theta$ 如何关联两者？
• RQ5 在 $\mathfrak{sl}_n$ 情形下，Gauss 分解在多大程度上通过半电流实现恢复 Felder 的 RLL 范畴？

主要发现

• 在 $\mathcal{L}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ 中，不可约表示的同构类集合与 $|\mathbf{I}|$ 份椭圆曲线 $E_\tau$ 的对称积 $SE_\tau = \bigcup_{n\geq 0} E_\tau^n / \mathfrak{S}_n$ 构成双射，其参数由椭圆 Drinfeld 多项式给出。
• 该分类在形式上类似于杨代数与量子环代数的分类，不可约表示 $\mathbb{V}(\mathbf{b})$ 由 $|\mathbf{I}|$ 个 $E_\tau$ 的对称积的 $|\mathbf{I}|$-元组确定。
• 函子 $\Theta$ 在 $U_q(L\mathfrak{g})$-表示与 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$-表示之间建立了桥梁，使得尽管缺少 Verma 模，仍能实现分类。
• 当 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ 时，半电流实现通过 Gauss 分解重现了 Felder 的 RLL 范畴，推广了此前对 $n=2$ 的结果。
• 当有限维性被可积性与 $\mathcal{O}$-范畴条件取代时，该分类对对称化 Kac–Moody 代数也成立。
• 关键关系的证明依赖于 theta 函数恒等式与对称核约化，其中 $f_1'$、$f_3'$ 及其组合的显式表达式以 $\theta$-函数与 $q$-变形形式给出。