[论文解读] Embezzlement States are Universal for Non-Local Strategies

Mateus de Oliveira Oliveira|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2010

Decision-Making and Behavioral Economics参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文证明了，隐形转移态——一种能够实现近似态传输的量子态——在任意轮次的两 provers 非局部博弈中具有普遍性。通过表明任意使用纠缠态的策略均可仅通过隐形转移态以多项式量级的量子比特开销和可忽略的误差进行近似，作者证明了当限制为这些态时，量子与经典 MIP* 类别保持不变，并且 provers 的测量电路可被普遍标准化。

ABSTRACT

We prove that the family of embezzlement states defined by van Dam and Hayden [vanDamHayden2002] is universal for both quantum and classical entangled two-prover non-local games with an arbitrary number of rounds. More precisely, we show that for each $ε>0$ and each strategy for a k-round two-prover non-local game which uses a bipartite shared state on 2m qubits and makes the provers win with probability $ω$, there exists a strategy for the same game which uses an embezzlement state on $2m + 2m/ε$ qubits and makes the provers win with probability $ω-\sqrt{2ε}$. Since the value of a game can be defined as the limit of the value of a maximal 2m-qubit strategy as m goes to infinity, our result implies that the classes QMIP*_{c,s}[2,k] and MIP*_{c,s}[2,k] remain invariant if we allow the provers to share only embezzlement states, for any completeness value c in [0,1] and any soundness value s < c. Finally we notice that the circuits applied by each prover may be put into a very simple universal form.

研究动机与目标

• 建立隐形转移态可在两 provers 非局部博弈中普遍近似任意纠缠策略。
• 表明当仅使用隐形转移态时，任意 k 轮非局部博弈的值基本保持不变。
• 证明当使用隐形转移态时，provers 的量子操作可被一组通用电路替代。
• 证明在限制为隐形转移态时，量子与经典 MIP* 复杂度类保持不变。

提出的方法

• 构造了一类隐形转移态，可实现受控误差的近似态传输。
• 使用线性量子比特开销 $ 2m + 2m/\varepsilon $，以最多 $ \sqrt{2\varepsilon} $ 的误差近似任意 $ 2m $-量子比特策略。
• 应用 Solovay-Kitaev 定理，利用包含 CNOT、H、π/8 和 SWAP 的通用门集近似任意酉操作。
• 将程序态嵌入辅助寄存器中，以编码可模拟任意策略的通用测量电路。
• 实现一种最近邻、受控门架构，其中辅助量子比特态控制作用于工作寄存器的门。
• 通过 k 轮中误差的累加，将总误差限制在 $ \varepsilon $ 以内，确保高保真度模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 隐形转移态是否可在任意轮次的两 provers 非局部博弈中普遍近似任意纠缠策略？
• RQ2 仅使用隐形转移态模拟任意纠缠策略所需的最小量子比特开销是多少？
• RQ3 当限制为隐形转移态策略时，provers 的测量电路是否可被普遍标准化？
• RQ4 当 provers 仅共享隐形转移态时，量子与经典 MIP* 类别是否保持不变？
• RQ5 策略近似误差如何随量子比特数量和所需精度变化？

主要发现

• 对于任意 $ \varepsilon > 0 $，任何使用 $ 2m $ 个量子比特且获胜概率为 $ \omega $ 的 $ k $-轮两 provers 非局部博弈策略，均可通过在 $ 2m + 2m/\varepsilon $ 个量子比特上的隐形转移态近似，获胜概率至少为 $ \omega - \sqrt{2\varepsilon} $。
• 即使仅使用隐形转移态，当量子比特数量趋于无穷时，非局部博弈的值在极限下仍保持不变。
• 当限制为隐形转移态时，类 $ QMIP^{*}_{c,s}[2,k] $ 和 $ MIP^{*}_{c,s}[2,k] $ 保持不变，即对所有 $ c \in [0,1] $，$ s < c $，有 $ QMIP^{E^{*}}_{c,s}[2,k] = QMIP^{*}_{c,s}[2,k] $ 和 $ MIP^{E^{*}}_{c,s}[2,k] = MIP^{*}_{c,s}[2,k] $。
• provers 的测量操作可被一组通用电路 $ \{ (\mathcal{X}_M, \mathcal{Y}_M) \} $ 替代，该电路可使用大小为 $ M = k \cdot \text{poly}(2^d, \log(k/\varepsilon)) $ 的辅助寄存器，以误差 $ \varepsilon $ 模拟任意策略。
• 通用电路构造使用相邻量子比特上的受控门，其中控制基于编码所需门的辅助量子比特态。
• 误差在 $ k $ 轮中累加，当每轮误差为 $ \varepsilon/k $ 时，总误差被限制在 $ \varepsilon $ 以内。