[论文解读] Endomorphism algebras of admissible p-adic representations of p-adic Lie groups

Gabriel Dospinescu, Benjamin Schraen|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文为p进数域上的不可约光滑p进Banach空间表示及p进李群的局部解析表示建立了舒尔引理，证明其自同态代数是基域上的有限维除环代数。该核心结果将舒尔引理推广至p进设置，填补了p进表示理论中长期存在的理论空白，为p进Langlands程序中的深层结构分析提供了支持。

ABSTRACT

Building on recent work of Ardakov and Wadsley, we prove Schur's lemma for absolutely irreducible admissible p-adic Banach space (respectively locally analytic) representations of p-adic Lie groups. We also prove finiteness results for the endomorphism algebra of an irreducible admissible representation.

研究动机与目标

• 在p进数域上，为p进李群的不可约光滑Banach空间表示与局部解析表示建立舒尔引理。
• 证明不可约光滑表示的自同态代数是基域L上的有限维除环代数。
• 证明任何不可约光滑表示在基域的有限伽罗瓦扩张后，可分解为绝对不可约表示的有限直和。
• 通过解决自同态代数的结构性问题，为p进Langlands对应关系提供基础工具。

提出的方法

• 利用Ardakov与Wadsley关于几乎交换仿射L代数上的Quillen引理的近期成果。
• 应用Kaplansky定理于PI-除环代数，推导出自同态代数的有限维性。
• 使用Baire引理由Qp上可数维数的弗雷歇代数推出其有限维性。
• 依赖于光滑局部解析表示与紧致开子群H的共伴随D(H,L)-模之间的对偶性。
• 通过双对偶空间上Banach代数的逆向极限构造自同态代数上的弗雷歇代数结构。
• 利用End_{L[G]}(Π)与对偶共伴随模自同态代数的对偶之间的自然同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 舒尔引理由否适用于p进李群的不可约光滑p进Banach空间表示？
• RQ2 不可约光滑表示的自同态代数是否在基域L上为有限维？
• RQ3 每个不可约光滑表示是否在基域L的有限伽罗瓦扩张后，可分解为绝对不可约表示的直和？
• RQ4 在绝对不可约Banach表示中，局部解析向量空间是否具有有限长度且自同态代数平凡？

主要发现

• 任意Qp-解析群的不可约光滑Banach空间表示或局部解析表示的自同态代数，均为基域L上的有限维除环代数。
• 不可约光滑表示为绝对不可约当且仅当其自同态代数恰好等于L。
• 在有限伽罗瓦扩张L′/L之后，每个不可约光滑表示在L′上可分解为有限个绝对不可约表示的直和。
• 自同态代数自然构成一个弗雷歇代数，其有限维性由Baire引理与PI代数上的Kaplansky定理推出。
• 该结果表明，绝对不可约光滑表示具有中心特征标，且在局部解析情形下具有无穷小特征标。
• 证明中建立了此类表示的任意自同态均关于L代数性，这是关键的技术步骤。