[论文解读] Locally analytic vectors of unitary principal series of GL_2(Qp)

Ruochuan Liu, Bingyong Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 14

一句话总结

本文证明了当 p > 2 时，关于 GL₂(ℚₚ) 的单位主系列表示中局部解析向量结构的 Emerton 猜想。利用 Colmez 的 p 进局部 Langlands 机制，作者将局部解析向量识别为嵌入一个涉及主系列表示与秩一 (φ,Γ)-模的正合序列中，从而解决了 GL₂(ℚₚ) p 进 Langlands 程序中的一个关键开放问题。

ABSTRACT

The p-adic local Langlands correspondence for GL2(Qp) attaches to any 2-dimensional irreducible p-adic representation V of the absolute Galois groups of Qp an admissible unitary representation Pi(V) of GL2(Qp). The unitary principal series of GL2(Qp) are those Pi(V) corresponding to trianguline representations. In this article, for p>2, using the machinery of Colmez, we determine the space of locally analytic vectors for all non-exceptional unitary principal series of GL2(Qp) by proving a conjecture of Emerton.

研究动机与目标

• 解决关于 GL₂(ℚₚ) 单位主系列表示中局部解析向量结构的 Emerton 猜想。
• 将 Colmez 的 p 进局部 Langlands 对应关系扩展至非例外三角化表示的局部解析向量情形。
• 通过对偶性与 (φ,Γ)-模理论，确定 Π(V)ₐₙ 在单位主系列表示下的精确结构。
• 建立一个精确的正合序列，以主系列表示与秩一模的形式描述局部解析向量。

提出的方法

• 利用 Colmez 的对偶公式：(Π(∨V)ₐₙ)* ≅ Dₙₐₜᵣᵢg(∨V) ⊗ₚ¹，将局部解析向量与 étale (φ,Γ)-模联系起来。
• 构造扭曲张量积 R(η) ⊗₆ P¹ 与 R⁺(η) ⊗₆ P¹，以建模局部解析主系列表示的对偶。
• 应用秩一 (φ,Γ)-模及其扩张的理论，分析三角化表示下 Dₙₐₜᵣᵢg(s) ⊗ₚ¹ 的结构。
• 利用 P¹-对偶空间中的对偶性与正交性，识别子表示并计算正合序列中的余维数。
• 应用 Colmez 理论中的一个关键结果，将自然映射 jₚ¹ 的像与 R⁺(δ) ⊗ₚ¹ 中的子空间联系起来。
• 基于 δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| 是否成立（k ∈ ℤ₊）进行情形分析，以区分离散系列表示与主系列表示的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 GL₂(ℚₚ) 的非例外单位主系列表示，局部解析向量空间 Π(V)ₐₙ 的精确结构是什么？
• RQ2 Emerton 所猜想的正合序列 0 → Σ(s) → Π(V(s))ₐₙ → (Ind_B GL₂(ℚₚ) δ₁⊗δ₂(x|x|)⁻¹)ₐₙ → 0 是否对所有非例外 s ∈ ℒ_irr 成立？
• RQ3 局部解析向量如何与秩一 (φ,Γ)-模的对偶及其扩张相关联？
• RQ4 当 δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| 时，局部解析子表示在完整局部解析向量空间中的余维数是多少？
• RQ5 在非例外情形下，是否可以从 Emerton 猜想推导出 Breuil 关于 Π(V)ₐₙ 结构的更精确猜想？

主要发现

• 当 p > 2 时，Emerton 猜想对所有非例外单位主系列表示 GL₂(ℚₚ) 成立。
• 局部解析向量空间 Π(V(s))ₐₙ 嵌入正合序列 0 → Σ(s) → Π(V(s))ₐₙ → (Ind_B GL₂(ℚₚ) δ₁⊗δ₂(x|x|)⁻¹)ₐₙ → 0 中，其中 Σ(s) 由 Breuil 的局部解析表示定义。
• 当 δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| 对某个 k ∈ ℤ₊ 成立时，表示 Σ(s) 同构于 Σ(k+1, ℒ) ⊗ (δ₂|x|^(2−k)/²∘det)，且商表示具有非平凡的扩张结构。
• 当 δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| 时，商表示 Π(V(s))ₐₙ / Σ(δ₁,δ₂) 的对偶同构于 R(δ₂) ⊗ₚ¹ ∩ Dₙₐₜᵣᵢg(∨s) ⊗ₚ¹，其为 R⁺(δ₂) ⊗ₚ¹ 与一个 k 维空间的扩张。
• 当 δ₁δ₂⁻¹ ≠ xᵏ|x| 时，局部解析表示 Σ(s) 的对偶同构于 R⁺(δ₁) ⊗ₚ¹；当 δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| 时，其对偶同构于 R⁺(δ₁) ⊗ₚ¹ 的一个扩张，扩张部分为一个 k 维空间。
• 该结果表明，Breuil 关于非例外表示下 Π(V)ₐₙ 结构的猜想可从 Emerton 猜想推出，从而推广了第一作者的早期结果。