[论文解读] Enhancing accuracy for solving American CEV model with high-order compact scheme and adaptive time stepping

Chinonso Nwankwo, Weizhong Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2023

Differential Equations and Numerical MethodsMathematics被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种高阶紧凑有限差分格式，结合自适应时间步长和局部网格加密，用于求解常弹性系数（CEV）模型下美式期权的非线性、耦合偏微分方程系统。通过将四阶解析逼近的提前行权边界与非均匀四阶紧凑格式及5(4) Dormand-Prince时间积分相结合，该方法即使在粗网格上也能实现高精度，显著降低计算成本，且优于Crank-Nicholson和人工边界等现有方法。

ABSTRACT

In this research work, we propose a high-order time adapted scheme for pricing a coupled system of fixed-free boundary constant elasticity of variance (CEV) model on both equidistant and locally refined space-grid. The performance of our method is substantially enhanced to improve irregularities in the model which are both inherent and induced. Furthermore, the system of coupled PDEs is strongly nonlinear and involves several time-dependent coefficients that include the first-order derivative of the early exercise boundary. These coefficients are approximated from a fourth-order analytical approximation which is derived using a regularized square-root function. The semi-discrete equation for the option value and delta sensitivity is obtained from a non-uniform fourth-order compact finite difference scheme. Fifth-order 5(4) Dormand-Prince time integration method is used to solve the coupled system of discrete equations. Enhancing the performance of our proposed method with local mesh refinement and adaptive strategies enables us to obtain highly accurate solution with very coarse space grids, hence reducing computational runtime substantially. We further verify the performance of our methodology as compared with some of the well-known and better-performing existing methods.

研究动机与目标

• 为解决美式CEV模型中强非线性和时变系数带来的数值挑战，特别是移动自由边界及其导数的问题。
• 提升在CEV框架下期权价值与德尔塔敏感性耦合PDE系统的求解精度与效率。
• 通过局部网格加密与自适应时间步长，实现在粗空间网格上保持高精度，从而减少计算运行时间。
• 提供一个稳健且可扩展的数值框架，用于求解金融领域中的复杂自由边界PDE问题，未来可拓展至状态转换和局部波动率模型。

提出的方法

• 对期权价值与德尔塔敏感性方程的半离散空间格式采用非均匀四阶紧凑有限差分格式。
• 利用基于正则化平方根函数推导出的四阶解析逼近方法对最优行权边界进行近似，提升边界追踪能力。
• 采用5(4) Dormand-Prince嵌入对进行自适应时间积分，动态调整时间步长以控制局部误差。
• 在高梯度区域（特别是提前行权边界附近）实施局部网格加密，以增强关键区域的分辨率。
• 通过使用 $ x = \ln(S / s_f(\tau)) $ 的域变换方法稳定解并改善不同弹性参数 $ \alpha $ 下的收敛性。
• 将系统作为固定-自由边界问题求解，通过迭代耦合方式同时计算边界与期权价值。

实验结果

研究问题

• RQ1 与标准有限差分法和边界方法相比，高阶紧凑有限差分格式结合自适应时间步长是否能在美式CEV模型中实现更优的精度与效率？
• RQ2 在具有移动自由边界的CEV模型求解中，局部网格加密如何影响精度与计算成本？
• RQ3 在5(4) Dormand-Prince方法中，误差容限 $ \epsilon $ 和控制器参数 $ \rho $ 的选择在多大程度上影响解的精度与稳定性？
• RQ4 对提前行权边界的四阶解析逼近是否能在不增加计算复杂度的前提下显著提升数值解的精度？
• RQ5 所提方法是否能在极粗的空间网格上保持高精度，从而为高维期权定价问题（如状态转换期权）提供潜在扩展可能？

主要发现

• 即使在较大的空间步长下，所提方法的求解精度也与Crank-Nicholson、Lee [26]的方法以及Wong和Zhao [52]的人工边界方法相当或更优。
• 当 $ \alpha = -1 $，$ K/S_0 = 35/40 $，且 $ h = 0.03 $ 时，DCSL格式计算出的期权价值为 4.0408，与其它方法的参考值高度一致。
• 解对误差容限 $ \epsilon $ 极为敏感，当 $ \epsilon $ 从 $ 10^{-4} $ 降低至 $ 10^{-6} $ 时，精度显著提升，而对 $ \rho $ 的变化则不敏感。
• 自适应时间步长显著减少了所需时间步数，尤其在 $ |\alpha| $ 较大时，由于系统刚性增强，需更小的时间步长。
• 紧凑格式的交错实现方式相比均匀网格格式在粗网格上提升了精度，同时降低了空间复杂度。
• 该方法即使在极粗网格上也能保持高精度，表明其在高维问题（如状态转换期权）中具有强大扩展潜力。