[论文解读] Entropic curvature on graphs along Schr{\"o}dinger bridges at zero temperature

Paul-Marie Samson|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文通过零温极限下的Schrödinger桥方法，在离散图上建立了熵曲率的有界性，利用减速过程将结果与W1-Wasserstein测地线联系起来。研究推导出Z^n、离散超立方体及Bernoulli-Laplace模型等图上的新型传输-熵不等式与Prékopa-Leindler型不等式，提供了不依赖维度的集中界，这些结果无法通过标准归纳法获得。

ABSTRACT

Lott-Sturm-Villani theory of curvature on geodesic spaces has been extended to discrete graph spaces by C. L{\'e}onard by replacing W2-Wasserstein geodesics by Schr{\"o}odinger bridges in the definition of entropic curvature [23, 25, 24]. As a remarkable fact, as a temperature parameter goes to zero, these Schr{\"o}dinger bridges are supported by geodesics of the space. We analyse this property on discrete graphs to reach entropic curvature on discrete spaces. Our approach provides lower bounds for the entropic curvature for several examples of graph spaces: the lattice Z n endowed with the counting measure, the discrete cube endowed with product probability measures, the circle, the complete graph, the Bernoulli-Laplace model. Our general results also apply to a large class of graphs which are not specifically studied in this paper. As opposed to Erbar-Maas results on graphs [27, 10, 11], entropic curvature results of this paper imply new Pr{\'e}kopa-Leindler type of inequalities on discrete spaces, and new transport-entropy inequalities related to refined concentration properties for the graphs mentioned above. For example on the discrete hypercube {0, 1} n and for the Bernoulli Laplace model, a new W2 -- W1 transport-entropy inequality is reached, that can not be derived by usual induction arguments over the dimension n. As a surprising fact, our method also gives improvements of weak transport-entropy inequalities (see [28, 15]) associated to the so-called convex-hull method by Talagrand [38].

研究动机与目标

• 将Lott-Sturm-Villani曲率理论扩展至使用Schrödinger桥的离散图。
• 在离散图上推导新型传输-熵不等式，特别是针对离散超立方体与Bernoulli-Laplace模型。
• 通过Schrödinger桥在零温极限下的方法，建立各类图结构上的熵曲率有界性。
• 提供一个适用于远超具体实例的广泛图类的一般性框架。
• 通过凸包法改进现有弱传输-熵不等式。

提出的方法

• 利用C. Léonard提出的减速过程，研究在离散图上跳跃过程的Schrödinger桥。
• 应用零温极限（γ → 0），证明转移核收敛至W1-Wasserstein测地线。
• 基于相对熵与Wasserstein空间中路径上的位移凸性，采用变分方法。
• 从极限桥测度下相对熵泛函的二阶行为推导曲率有界性。
• 通过泰勒展开与转移概率的统一有界性，控制桥动力学在γ → 0时的极限。
• 应用Fatou引理与测度的弱收敛性，将极限传递至熵与曲率表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过零温Schrödinger桥在离散图上定义并有界化熵曲率？
• RQ2 该熵曲率框架在图上会引出哪些新型传输-熵不等式？
• RQ3 在高维情形（如离散超立方体）下，这些不等式与经典归纳法相比如何？
• RQ4 该方法能否改进Talagrand的凸包法以获得更优的弱传输-熵不等式？
• RQ5 图的何种几何条件可确保通过此极限桥方法获得正的熵曲率？

主要发现

• 在离散超立方体{0,1}^n上建立了新型的W2−W1传输-熵不等式，该不等式无法通过标准的维度归纳法推导。
• 该方法为图提供了改进的弱传输-熵不等式，优化了Talagrand的凸包法。
• 针对计数测度下的Z^n、完全图、圆周图Z/NZ及Bernoulli-Laplace模型，推导出熵曲率有界性。
• Schrödinger桥的零温极限收敛至W1-测地线，从而可通过位移凸性进行曲率分析。
• 曲率有界性蕴含了离散空间上的新型Prékopa-Leindler不等式，将经典结果推广至图结构。
• 该框架具有普适性，适用于远超所研究具体实例的广泛图类，其中定理3.5为核心技术工具。