[论文解读] Envy-free Relaxations for Goods, Chores, and Mixed Items

Kristóf Bérczi, Erika R. Bérczi‐Kovács+6 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 32被引用 18

一句话总结

本文研究了在非单调、非可加效用函数（包括商品、任务和混合物品）下对 envy-freeness（公平性）的松弛形式——EF1 和 EFX。提出了针对两人情况下具有任意效用函数的 EF1 分配的多项式时间算法，并证明了在任务的单调相同效用函数下 EFX 分配的存在性；同时表明，对于非单调、相同、非可加效用函数，EFX 分配可能不存在。

ABSTRACT

In fair division problems, we are given a set $S$ of $m$ items and a set $N$ of $n$ agents with individual preferences, and the goal is to find an allocation of items among agents so that each agent finds the allocation fair. There are several established fairness concepts and envy-freeness is one of the most extensively studied ones. However envy-free allocations do not always exist when items are indivisible and this has motivated relaxations of envy-freeness: envy-freeness up to one item (EF1) and envy-freeness up to any item (EFX) are two well-studied relaxations. We consider the problem of finding EF1 and EFX allocations for utility functions that are not necessarily monotone, and propose four possible extensions of different strength to this setting. In particular, we present a polynomial-time algorithm for finding an EF1 allocation for two agents with arbitrary utility functions. An example is given showing that EFX allocations need not exist for two agents with non-monotone, non-additive, identical utility functions. However, when all agents have monotone (not necessarily additive) identical utility functions, we prove that an EFX allocation of chores always exists. As a step toward understanding the general case, we discuss two subclasses of utility functions: Boolean utilities that are $\{0,+1\}$-valued functions, and negative Boolean utilities that are $\{0,-1\}$-valued functions. For the latter, we give a polynomial time algorithm that finds an EFX allocation when the utility functions are identical.

研究动机与目标

• 将 EF1 和 EFX 公平性的概念扩展至非单调和非可加效用函数的情境。
• 研究在商品、任务和混合物品背景下，EF1 和 EFX 分配的存在性与算法构造。
• 确定在相同、单调或非单调效用函数下，特别是负布尔效用情况下，EFX 分配是否存在。
• 为特定效用函数类别（如布尔效用和负布尔效用）开发高效算法。
• 识别在各种效用约束下 EF1 和 EFX 分配存在性的开放问题。

提出的方法

• 提出 EF1 和 EFX 公平性的四种扩展，以适用于非单调和非可加效用函数，定义了新的公平松弛形式 EFX⁺₀ 和 EFX⁰₋。
• 设计了一种针对两人情况下任意效用函数的 EF1 分配的多项式时间算法，采用势函数论证方法。
• 引入势函数 φ(π)，其在每次转移步骤中严格递增，从而确保在多项式时间内终止。
• 应用一种局部搜索机制，将物品从效用较低的代理人转移到效用较高的代理人，以维持或改善公平性。
• 基于效用变化的贪心选择策略来决定转移的物品，确保在负布尔效用设定下向 EFX⁺₀ 公平性稳步推进。
• 采用反证法与案例分析，证明在每次迭代中 φ(π) 至少增加 1，从而保证收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有任意（非单调、非可加）效用函数的两人，EF1 分配是否始终存在？
• RQ2 对于非单调、非可加、相同的效用函数，EFX 分配是否可能存在？
• RQ3 对于具有单调、相同效用函数的任务，EFX⁺₀ 分配是否始终存在？
• RQ4 在相同负布尔效用函数的情况下，是否存在 EFX 分配的多项式时间算法？
• RQ5 在非相同、单调、可加效用函数下，EFX⁰₋ 分配在何种条件下存在？

主要发现

• 对于具有任意效用函数的两人，存在一种基于严格递增势函数证明的多项式时间算法，可计算出 EF1 分配。
• 当所有代理人都具有单调、相同效用函数时，任务的 EFX⁺₀ 分配始终存在。
• 通过局部搜索算法，可在多项式时间内计算出具有相同负布尔效用函数的 EFX⁺₀ 分配。
• 构造了一个反例，表明对于具有非单调、非可加、相同效用函数的两人，EFX 分配可能不存在。
• 负布尔效用下，EFX⁰₋ 分配并不总是存在，通过一个包含三个物品和两个代理人的反例得以证明。
• 对于非相同、单调、可加效用函数，EFX 分配的存在性仍为开放问题，凸显了公平分配领域中的一个关键未解难题。