[论文解读] Equidistribution on the space of rank two vector bundles over the projective line

Vivek Shende, Jacob Tsimerman|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文建立了戴克定理在函数域上的类比，证明了在双椭圆曲线诱导下，射影直线 ℙ¹ 上秩二向量丛模空间上的测度，随着亏格趋于无穷，收敛于自然测度。证明方法涉及 zeta 函数的运算与曲线的黎曼猜想，通过雅可比簇中特殊除子交点的几何计数，将结果推广至向量丛对的情形。

ABSTRACT

Fix a finite field. A hyperelliptic curve determines a measure on the discrete space of rank two bundles on the projective line: the mass of a given vector bundle is the number of line bundles whose pushforward it is. In a sequence of hyperelliptic curves whose genera tend to infinity, these measures tend to the natural measure on the space of rank two bundles. This is a function field analogue of Duke's theorem on the equidistribution of Heegner points, and can be proven similarly: it follows from a manipulation of zeta functions, plus the Riemann Hypothesis for curves. Likewise, a sequence of hyperelliptic curves equipped with line bundles gives rise to a sequence of measures on the space of pairs of rank 2 bundles. We give a conjectural classification of the possible limit measures which arise; this is a function field analogue of the "Mixing Conjecture" of Michel and Venkatesh. As in the number field setting, ergodic theory suffices when the line bundle is sufficiently special. For the remaining bundles, we turn to geometry and count points on intersections of translates of loci of special divisors in the Jacobian of a hyperelliptic curve. To prove equidistribution, we would require two results. The first, we prove: the upper cohomologies of these loci agree with the cohomology of the Jacobian. The second, which we establish in characteristic zero and conjecture in characteristic p, is that the sum of the Betti numbers of these spaces grows at most as the exponential of the genus of the hyperelliptic curve.

研究动机与目标

• 在射影直线 ℙ¹ 上的秩二向量丛模空间中，建立线丛测度的拉前测度的等分布性。
• 将此结果推广至向量丛对的测度，通过类比米歇尔与腾卡施的混合猜想，提出极限分布的猜想。
• 通过几何方法，特别是对双椭圆曲线雅可比簇中特殊除子轨迹的交点进行计数，证明等分布性。
• 为这些特殊除子轨迹建立上同调与贝蒂数的界，这是在正特征情况下实现等分布性的关键。

提出的方法

• 利用 zeta 函数的运算与曲线的黎曼猜想，证明由双椭圆曲线诱导的 Bun₂(ℙ¹) 上测度的等分布性。
• 将等分布问题约化为对雅可比簇中特殊除子轨迹的上同调的有界性控制，证明其上同调与雅可比簇本身的同调一致。
• 当线丛足够特殊时，应用遍历理论；在其余情形则转而使用几何计数方法。
• 研究双椭圆曲线雅可比簇中特殊除子轨迹的平移的几何结构，以控制点数。
• 采用完全框架化向量丛与赫克测度的框架，将自守形式数据与几何数据联系起来。
• 利用对称空间的双陪集结构，对从秩一环面到 PGL₂ 的拉前映射进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 当亏格趋于无穷时，双椭圆曲线的除子群到 Bun₂(ℙ¹) 的拉前测度是否等分布？
• RQ2 当双椭圆曲线配备线丛时，可能的极限测度是什么？它们与函数域设定下米歇尔与腾卡施的混合猜想有何关联？
• RQ3 双椭圆曲线雅可比簇中特殊除子轨迹的上同调是否与雅可比簇本身的同调一致？
• RQ4 这些特殊除子轨迹的贝蒂数之和在曲线亏格上是否至多以指数方式增长，特别是在正特征情形？
• RQ5 当遍历理论失效时，能否通过几何方法在正特征下建立等分布性？

主要发现

• 双椭圆曲线的除子群到 Bun₂(ℙ¹) 的拉前测度，随着亏格趋于无穷，弱-* 收敛于秩二向量丛空间上的自然测度。
• 雅可比簇中特殊除子轨迹的上同调与雅可比簇本身的同调一致，这是本文证明的关键技术结果。
• 在特征零情形下，这些特殊除子轨迹的贝蒂数之和在亏格上至多以指数方式增长，支持了等分布性。
• 作者猜想在正特征情形下，同样的贝蒂数界也成立，这将完整完成等分布性的证明。
• 对于足够特殊的线丛，遍历理论足以证明等分布性，但一般情形下需依赖几何计数。
• 本文建立了戴克等分布定理在函数域上的类比，其中 Bun₂(ℙ¹) 上的自然测度作为这些拉前测度的弱-* 极限而出现。