[论文解读] Equivariant Cobordism of schemes

Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用 28

一句话总结

本文为特征零域上具有线代数群作用的概形引入了等变代数cobordism，建立了其基础性质，并将其与等变Chow群、K-理论及复cobordism联系起来。关键结果表明，G-概形的有理等变cobordism等于其在极大环面作用下的cobordism的Weyl群不变量，据此证明了复线代数群的分类空间的有理代数cobordism与其实复cobordism一致。

ABSTRACT

Let k be a field of characteristic zero. For a linear alge- braic group G over k acting on a scheme X, we define the equivariant algebraic cobordism of X and establish its basic properties. We ex- plicitly describe the relation of equivariant cobordism with equivariant Chow groups, K-groups and complex cobordism. We show that the rational equivariant cobordism of a G-scheme can be expressed as the Weyl group invariants of the equivariant cobordism for the action of a maximal torus of G. As applications, we show that the rational algebraic cobordism of the classifying space of a complex linear algebraic group is isomorphic to its complex cobordism.

研究动机与目标

• 为特征零域上具有线代数群作用的概形定义并研究等变代数cobordism。
• 建立等变cobordism的基础性质，包括函子性与局部化。
• 将等变cobordism与等变Chow群、K-理论等其他等变理论联系起来。
• 证明G-概形的有理等变cobordism同构于其在极大环面作用下的cobordism的Weyl群不变量。
• 将该理论应用于证明复线代数群的分类空间的有理代数cobordism同构于其复cobordism。

提出的方法

• 通过群作用在概形上的分类空间构造来定义等变代数cobordism。
• 利用局部化定理与等变移动技巧，将等变cobordism与极大环面作用下的不变量联系起来。
• 通过Weyl群作用描述有理等变cobordism的结构，即作为群对称下的不变量。
• 通过Weyl群不变量结果，建立分类空间的有理代数cobordism与复cobordism之间的比较同构。
• 借助复cobordism与代数K-理论的已知结果，推导出等变cobordism环的结构性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为特征零域上具有线代数群作用的概形定义等变代数cobordism？
• RQ2 等变cobordism与其他等变上同调理论（如等变Chow群与K-理论）之间的确切关系是什么？
• RQ3 G-概形的有理等变cobordism如何与极大环面及其Weyl群的作用相关联？
• RQ4 能否将复线代数群的分类空间的有理代数cobordism识别为其复cobordism？
• RQ5 G-概形的等变cobordism环从极大环面作用中继承了哪些结构性质？

主要发现

• G-概形的有理等变cobordism同构于其在极大环面作用下的等变cobordism的Weyl群不变量。
• 复线代数群的分类空间的有理代数cobordism同构于其复cobordism。
• 等变cobordism通过自然变换映射与等变Chow群和K-理论相关联。
• 等变cobordism的构造与代数群作用的结构相容，且尊重局部化与基变换。
• 该理论为研究具有群作用的代数几何中的cobordism不变量提供了一个统一框架。