[论文解读] Equivariant motives and geometric representation theory. (with an appendix by F. Hörmann and M. Wendt)

Wolfgang Soergel, Rahbar Virk+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文利用Borel的等变同伦论与代数逼近方法，为等变混合Tate动机建立了六函子形式系统，证明了两种定义之间的等价性。在良好的几何设定下，这些范畴具有权重结构，并满足倾斜结果，将其与心的有界同伦范畴相等化——从而为形式性定理提供了几何的、形式化的证明，并实现了对Hecke代数及其模的动机范畴化。

ABSTRACT

We consider categories of equivariant mixed Tate motives, where equivariant is understood in the sense of Borel. We give the two usual definitions of equivariant motives, via the simplicial Borel construction and via algebraic approximations of it. The definitions turn out to be equivalent and give rise to a full six-functor formalism. For rational étale motives over a finite field or the homotopical stable algebraic derivator arising from the semisimplified Hodge realization, the equivariant mixed Tate motives provide a graded version of the equivariant derived category. We show that, in sufficiently nice and clean cases, these categories admit weight structures; moreover, a tilting result holds which identifies the category of equivariant mixed Tate motives with the bounded homotopy category of the heart of its weight structure. This can be seen as a formality result for equivariant derived categories. We also discuss convolution functors on equivariant mixed Tate motives, and consequences for the categorification of the Hecke algebra and some of its modules.

研究动机与目标

• 为Borel意义上的等变混合Tate动机发展一个一致的六函子形式系统。
• 证明两种等变动机定义的等价性：一种基于单纯Borel构造，另一种基于代数逼近。
• 在足够良好的几何设定下，证明等变混合Tate动机具有权重结构并满足倾斜结果。
• 将此框架应用于构造Hecke代数及其相关模的几何动机范畴化。
• 通过导出范畴中的倾斜定理，为几何表示论中的形式性定理提供一种新的几何证明。

提出的方法

• 作者利用单纯Borel构造与代数逼近来定义等变动机，通过同伦论与导出范畴理论技术证明其等价性。
• 建立了等变动机的完整六函子形式系统，包括拉回、推前与张量积。
• 在等变混合Tate动机上构造了权重结构，其心为等变Tate动机的范畴。
• 证明了倾斜定理，将权重结构心的有界同伦范畴与等变混合Tate动机范畴相等化。
• 将此框架应用于等变动机上的卷积函子，将其与Hecke代数的范畴化联系起来。
• 运用张量化导出范畴技术，证明倾斜函子保持张量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在混合Tate动机的语境下，两种标准的等变动机定义——基于单纯Borel构造与基于代数逼近——是否等价？
• RQ2 在几何上行为良好的情形下，等变混合Tate动机是否具有权重结构？
• RQ3 倾斜结果是否能将等变混合Tate动机范畴与其中权重结构心的有界同伦范畴相等化？
• RQ4 等变动机上的动机六函子形式系统如何实现Hecke代数的几何范畴化？
• RQ5 该框架能否为几何表示论中的形式性定理提供一种新的几何证明？

主要发现

• 基于单纯Borel构造与代数逼近的两种等变动机定义是等价的，为理论奠定了坚实基础。
• 在足够良好的几何设定下，如具有仿射Whitney–Tate分层的情形，等变混合Tate动机范畴具有权重结构。
• 倾斜结果成立：等变混合Tate动机范畴与其中权重结构心的有界同伦范畴等价。
• 该等价性提供了动机形式性结果，几何地实现了等变导出范畴的形式性。
• 等变混合Tate动机上的卷积函子实现了Hecke代数及其模的范畴化，几何同构自然解释了辫子关系。
• 从心的有界同伦范畴到动机范畴的倾斜函子是张量化的，通过导出范畴理论技术保持了张量结构。