[论文解读] Erd\H{o}s-Burgess constant of commutative semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文研究了交换半群中Erdős-Burgess常数I(𝑆)，特别是循环半群的直积。本文建立了I(𝑆)为有限的充要条件，提供了紧确的上下界，并在统一和扩展有限交换群上Davenport常数的经典结果方面，确定了其精确值。

ABSTRACT

Let $\\mathcal{S}$ be a nonempty commutative semigroup written additively. An element $e$ of $\\mathcal{S}$ is said to be idempotent if $e+e=e$. The Erd\\H{o}s-Burgess constant of the semigroup $\\mathcal{S}$ is defined as the smallest positive integer $\\ell$ such that any $\\mathcal{S}$-valued sequence $T$ of length $\\ell$ contain a nonempty subsequence the sum of whose terms is an idempotent of $\\mathcal{S}$. We make a study of ${\ m I}(\\mathcal{S})$ when $\\mathcal{S}$ is a direct product of arbitrarily many of cyclic semigroups. We give the necessary and sufficient conditions such that ${\ m I}(\\mathcal{S})$ is finite, and in particular, we obtain sharp bounds of ${\ m I}(\\mathcal{S})$ in case ${\ m I}(\\mathcal{S})$ is finite, and determine the precise values of ${\ m I}(\\mathcal{S})$ in some cases which unifies some well known results on the precise values of Davenport constant in the setting of commutative semigroups.

研究动机与目标

• 表征交换半群𝑆的Erdős-Burgess常数I(𝑆)，特别是当𝑆为循环半群的直积时。
• 确定I(𝑆)为有限的必要与充分条件。
• 在I(𝑆)为有限时，推导其紧确的上界与下界。
• 通过将有限交换群上Davenport常数的已知结果推广至交换半群的设定，统一并扩展这些经典结果。
• 在特定情况下，确定I(𝑆)的精确值，包括当𝑆为有限个循环半群的直积且满足某些结构约束时。

提出的方法

• 将Erdős-Burgess常数I(𝑆)定义为𝑆中所有无幂等元和序列𝑇的|𝑇|+1的上确界。
• 分析循环半群𝒞_{k_i;n_i}直积的结构，其中当n_i > 1时每个均为幂零半群。
• 使用单同态ι: 𝒮′ → 𝒮，将问题约化至由满足n_i > 1的分量及一个k_i最大的代表元生成的子半群𝒮′。
• 应用引理3.5，将子序列中指数之和与幂等元和条件关联，特别使用上取整函数⌈k_i/n_i⌉。
• 构造一个变换𝑇 ↦ 𝑇̃，将𝑆中的序列映射到子半群𝒮′中的序列，同时保持无幂等元和性质。
• 利用𝒮′与其在ι下的像之间的同构关系，比较I(𝑆)与I(𝒮′)，在有限性条件下证明I(𝑆) = I(𝒮′)。

实验结果

研究问题

• RQ1 当交换半群𝑆为循环半群的直积时，Erdős-Burgess常数I(𝑆)在何种条件下为有限？
• RQ2 当I(𝑆)为有限时，其紧确的上界与下界为何？
• RQ3 在何种情况下，I(𝑆)等于群分量𝐺_𝑆的Davenport常数加上一个依赖于幂零结构的修正项？
• RQ4 在何种情况下可以确定I(𝑆)的精确值，特别是当𝑆为有限个循环半群的直积时？
• RQ5 在交换半群的背景下，Erdős-Burgess常数如何推广有限交换群上的经典Davenport常数？

主要发现

• Erdős-Burgess常数I(𝑆)为有限，当且仅当满足n_i > 1的分量数量有限，且满足n_i = 1的分量中𝑘_i的上确界有限。
• 当I(𝑆)为有限时，有𝐼(𝑆) = 𝐼(𝒮′)，其中𝒮′是由满足𝑛_i > 1的分量及来自𝑛_i = 1分量中𝑘_i最大的一个代表元构成的约化半群。
• 对于循环半群的有限直积𝒮 = 𝒞_{k_1;n_1} × ⋯ × 𝒞_{k_r;n_r}，Erdős-Burgess常数为𝐼(𝑆) = max_i{(⌈k_i/n_i⌉−1)n_i} + D(G_𝑆)，其中D(G_𝑆)为群𝐺_𝑆的Davenport常数。
• 特别地，当所有𝑘_i = 1时，半群𝑆变为有限交换群ℤ_{n_1} ⊕ ⋯ ⊕ ℤ_{n_r}，此时公式简化为𝐼(𝑆) = 1 + ∑_{i=1}^r (n_i − 1)，从而恢复定理D。
• 公式𝐼(𝑆) = max_i{(⌈k_i/n_i⌉−1)n_i} + 1 + ∑_{i=1}^r (n_i − 1) 在𝑟 = 1，𝑟 = 2且𝑛_i之间存在整除关系，或∏𝑛_i为素数幂时精确成立。
• 证明表明，𝑆中任意无幂等元和序列均可映射至𝒮′中的无幂等元和序列，且长度不增加，从而保持𝐼(𝑆)的值不变。