[论文解读] Evaluation of Lyapunov exponent in generalized linear dynamical models of queueing networks

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

Advanced Data Processing Techniques参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于分解的新型方法，利用同态代数（idempotent algebra）对从排队网络导出的广义线性随机动力系统中的李雅普诺夫指数进行评估。通过将系统矩阵分解为结构化分量，该方法实现了对各类网络类型（包括串行队列、分流-汇聚系统及轮转路由网络）的吞吐量分析中关键的平均服务周期时间的精确计算。

ABSTRACT

The problem of evaluation of Lyapunov exponent in queueing network analysis is considered based on models and methods of idempotent algebra. General existence conditions for Lyapunov exponent to exist in generalized linear stochastic dynamic systems are given, and examples of evaluation of the exponent for systems with matrices of particular types are presented. A method which allow one to get the exponent is proposed based on some appropriate decomposition of the system matrix. A general approach to modeling of a wide class of queueing networks is taken to provide for models in the form of stochastic dynamic systems. It is shown how to find the mean service cycle time for the networks through the evaluation of Lyapunov exponent for their associated dynamic systems. As an illustration, the mean service time is evaluated for some systems including open and closed tandem queues with finite and infinite buffers, fork-join networks, and systems with round-robin routing.

研究动机与目标

• 利用同态代数建立广义线性随机动力系统中李雅普诺夫指数存在的普遍条件。
• 为具有随机、独立同分布（i.i.d.）转移矩阵的系统开发一种系统化的李雅普诺夫指数评估方法。
• 将该方法应用于分析一大类排队网络，包括开放与封闭的串行队列、分流-汇聚网络及轮转系统。
• 推导出各种网络配置下平均服务周期时间的显式表达式，其以期望服务时间表示。

提出的方法

• 在 (max, +) 半环上使用同态代数建模排队网络的动力学，其中矩阵乘法表示状态演化。
• 引入一种矩阵分解技术：$ A(k) = B(k)C(k) $，将复杂系统简化为具有已知李雅普诺夫指数解的更简单形式。
• 应用定理5于三角矩阵，实现李雅普诺夫指数的直接计算，即 $ C(k)B(k+1) $ 的对角线元素期望值的最大值。
• 利用遍历定理，在均值转移矩阵谱半径满足弱条件时，证明李雅普诺夫指数的存在性。
• 将排队网络模型转化为随机动力系统，其中李雅普诺夫指数对应于平均服务周期时间。
• 通过计算 $ ho = ext{tr}( ext{E}[C(1)B(1)]) $，推导出分解系统中 $ ho $ 的解析表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 (max, +) 代数中，广义线性随机动力系统中李雅普诺夫指数存在的普遍条件是什么？
• RQ2 当无法获得闭式解时，如何高效计算具有随机、i.i.d. 转移矩阵的系统的李雅普诺夫指数？
• RQ3 具有有限与无限缓冲区的开放与封闭串行队列网络的平均服务周期时间是多少？
• RQ4 李雅普诺夫指数如何与分流-汇聚及轮转路由网络中的系统吞吐量相关联？
• RQ5 能否使用矩阵分解技术将复杂的排队网络模型简化为可解形式，以用于李雅普诺夫指数的评估？

主要发现

• 在均值转移矩阵谱半径满足特定条件时，对于具有 i.i.d. 随机矩阵的系统，李雅普诺夫指数 $ ho $ 存在。
• 对于具有无限缓冲区的封闭串行队列，平均服务周期时间为 $ ho = ext{E}[ au_{11}] + ext{E}[ au_{21}] $，该结果源于系统矩阵的分解。
• 在 $ l=2 $ 的分流-汇聚网络中，平均服务周期时间为 $ ho = ext{E}[ au_{11}] + ext{E}[ au_{21}] $，反映了并行处理结构。
• 对于具有 $ l=2 $ 的轮转路由系统，平均服务周期时间为 $ ho = ext{E}[ au_{11}] \bigvee \text{E}[ au_{21}] \bigvee (2\text{E}[ au_{01}]) $，其中 $ \bigvee $ 表示最大值。
• 该方法通过利用迹公式 $ \rho = \text{tr}(\text{E}[C(1)B(1)]) $，成功计算了三角矩阵与秩-1矩阵的 $ \rho $。
• 李雅普诺夫指数的倒数即为系统吞吐量，证实其在排队网络分析中作为关键性能指标的作用。