[论文解读] Evaluations of Euler type sums of weight $\leq$ 5

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文在总权重 ≤5 的条件下，对形如 $ S_{p_1 p_2 \\_cdots p_m, p}(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^{(p_1)} H_n^{(p_2)} \\cdots H_n^{(p_m)}}{n^p} x^n $ 的欧拉型求和在 $ x = \frac{1}{2} $ 处进行评估。通过利用求和之间的线性关系及已知的特殊函数，证明了所有此类求和均可表示为 zeta 值、多对数函数和 $ \log(2) $ 的有理线性组合，为权重 5 的情形提供了显式闭式表达，并为权重 6 的求和建立了恒等式。

ABSTRACT

Let $p,p_1,\ldots,p_m$ be positive integers with $p_1\leq p_2\leq\cdots\leq p_m$ and $x\in [-1,1)$, define the so-called Euler type sums ${S_{{p_1}{p_2} \cdots {p_m},p}}\left( x ight)$, which are the infinite sums whose general term is a product of harmonic numbers of index $n$, a power of $n^{-1}$ and variable $x^n$, by \[S_{p_1 p_2 \cdots p_m, p}(x) := \sum_{n = 1}^\infty \frac{H_n^{(p_1)} H_n^{(p_2)} \cdots H_n^{(p_m)}} {n^p} x^n \quad (m\in \mathbb{N} := \{1,2,3,\ldots\}), \] where $H_n^{(p)}$ is defined by the generalized harmonic number. Extending earlier work about classical Euler sums, we prove that whenever $p+p_1+\cdots+p_m \leq 5$, then all sums ${S_{{p_1}{p_2} \cdots {p_m},p}}\left( 1/2 ight)$ can be expressed as a rational linear combination of products of zeta values, polylogarithms and $\log(2)$. The proof involves finding and solving linear equations which relate the different types of sums to each other.

研究动机与目标

• 确定总权重 ≤5 的广义欧拉求和在 $ x = \frac{1}{2} $ 处是否可表示为基本常数的有理线性组合。
• 将经典的欧拉求和评估扩展至包含广义调和数和 $ x^n $ 的加权求和。
• 建立一种系统化方法，将这些求和表示为 zeta 值、多对数函数和 $ \log(2) $ 的有理线性组合。
• 为所有总权重 $ \leq 5 $ 的 $ S_{p_1 p_2 \\cdots p_m, p}\left(\frac{1}{2}\right) $ 推导显式闭式表达。
• 利用相同方法探索更高权重求和（如权重 6）之间的恒等式。

提出的方法

• 该方法依赖于构建并求解不同类型的欧拉型求和之间的线性方程组。
• 利用已知的积分表示和涉及对数与多对数函数的生成函数推导恒等式。
• 该方法利用多重调和和与多重 zeta 值（MZVs）之间的联系，包括交错变体。
• 论文采用生成函数恒等式 $ \sum_{n=1}^\infty H_n^{(p)} \frac{x^n}{n^q} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^p} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^q (n+k)} $ 推导关系式。
• 利用已知恒等式 $ S_{2n-1,1}(z) = \mathrm{Li}_{2n}(z) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2n-1} (-1)^{k+1} \mathrm{Li}_k(z) \mathrm{Li}_{2n-k}(z) $ 推导出 $ S_{5,1}(1/2) $ 的闭式表达。
• 对权重 6 求和的评估基于推导并求解同权重求和之间的线性关系，例如 $ \mathrm{Li}_3^2(1/2) = 2S_{3,3}(1/2) + \cdots - 20\mathrm{Li}_6(1/2) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有总权重 ≤5 的欧拉型求和在 $ x = \frac{1}{2} $ 处是否均可表示为 zeta 值、多对数函数和 $ \log(2) $ 的有理线性组合？
• RQ2 在相同权重下，欧拉型求和之间存在哪些线性关系，特别是在 $ x = \frac{1}{2} $ 处？
• RQ3 如何将更高权重求和（例如权重 6）与低权重求和及特殊函数关联起来？
• RQ4 能否为 $ S_{5,1}(1/2) $ 推导出显式闭式表达？
• RQ5 是否存在系统化方法，用于在 $ x = \frac{1}{2} $ 时评估包含广义调和数与 $ x^n $ 乘积的求和？

主要发现

• 所有总权重 ≤5 的欧拉型求和在 $ x = \frac{1}{2} $ 处均可表示为 zeta 值、多对数函数和 $ \log(2) $ 的有理线性组合。
• 求和 $ S_{5,1}\left(\frac{1}{2}\right) $ 的闭式表达包含 $ \mathrm{Li}_6(1/2) $、$ \mathrm{Li}_5(1/2)\log(2) $、$ \mathrm{Li}_4(1/2)\zeta(2) $、$ \mathrm{Li}_4(1/2)\log^2(2) $、$ \zeta^2(3) $ 以及 $ \log(2) $ 的幂次。
• 恒等式 $ \mathrm{Li}_3^2(1/2) = 2S_{3,3}(1/2) + 6S_{2,4}(1/2) + 12S_{1,5}(1/2) - 20\mathrm{Li}_6(1/2) $ 成立，并可用于计算 $ S_{3,3}(1/2) $。
• 求和 $ \zeta(4,1,1;1/2) $ 可表示为 $ S_{1^2,4}(1/2) $、$ S_{2,4}(1/2) $、$ S_{1,5}(1/2) $ 和 $ \mathrm{Li}_6(1/2) $ 的组合，从而得到 $ \zeta(6) $、$ \zeta^2(3) $、$ \mathrm{Li}_5(1/2)\log(2) $ 以及 $ \log(2) $ 幂次的有理表达式。
• $ S_{5,1}(1/2) $ 的评估源自恒等式 (6.103)–(6.105)，结果为包含 10 项的闭式表达，其中包括 $ \mathrm{Li}_6(1/2) $、$ \mathrm{Li}_5(1/2)\log(2) $、$ \zeta^2(3) $ 和 $ \log^6(2) $。
• 该方法成功推导出权重 6 求和的恒等式，例如 $ \mathrm{Li}_2(1/2)\mathrm{Li}_4(1/2) = S_{4,2}(1/2) + 2S_{3,3}(1/2) + 4S_{2,4}(1/2) + 8S_{1,5}(1/2) - 15\mathrm{Li}_6(1/2) $。